Solución: Una mesa no igualitaria

Ya hay solución para el decimoséptimo desafío con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Nuestro compañero, Alberto Castaño, estudiante de doctorado de la Universidad de Sevilla, planteó el problema y ahora lo resuelven (vídeo arriba). Esta semana la cuestión era cubrir totalmente una mesa de 90 centímetros por 150 con un rollo de papel de 20 centímetros de ancho y un área exactamente igual a la de la mesa al que sólo podíamos hacer cortes transversales.

Se han recibido unas 500 respuestas para este reto matemático. Prácticamente todas señalan acertadamente que no es posible cubrir la mesa con las condiciones del desafío. Sin embargo, consideramos que sólo un 35% se ajustan al requisito de “si no se puede hacer, demostrar por qué”. Vamos a intentar explicar nuestra decisión.

La respuesta más común es decir simplemente que no es posible porque 20 no divide ni a 90 ni a 150. El problema es que nada nos impide tener, por ejemplo, una pieza de 20xpi, otra de 20xraíz cuadrada de 2, una tercera que mida 20xlogaritmo de 87. En esas condiciones, ¿qué quiere decir dividir? En la mayoría de los casos nos parece que nuestros lectores se refieren a divisibilidad de números enteros, pero nuestros trozos de papel pueden tener una dimensión que no sea ni siquiera un número racional (una fracción), y por eso el simple argumento “20 no divide ni a 90 ni a 150” no constituye una demostración.

Tampoco lo es decir que, lo hagamos como lo hagamos, siempre quedará sin cubrir un rectángulo de 10 cmx10 cm (o más exactamente un total de 100 cm^2: podrían quedar por cubrir, por ejemplo, 250 rectángulos de 1 cmx0,4 cm) si no se da una explicación que justifique que este es el caso para CUALQUIER forma de cortar el papel, incluidos los ya mencionados trozos de 20xpi, etc. En resumen, no sirven los argumentos que de manera implícita o explícita asumen que las piezas tienen lados enteros (o quizás fraccionarios, que se podrían considerar enteros si se tomase una unidad adecuada).

Tampoco son soluciones correctas las que citan el Teorema de Bruijn y Klarner porque este resultado, que los lectores interesados no tendrán dificultad en encontrar, se refiere a cubrir un rectángulo con piezas de un tamaño fijo, que no es el caso en nuestro desafío. Sí se puede sin embargo aplicar una generalización que nos remite Sara Ferrer: si un rectángulo se divide en varios rectángulos, cada uno de los cuales tiene al menos un lado de longitud entera, entonces al menos un lado del rectángulo original tiene longitud entera. En nuestro desafío basta con tomar como unidad de medida una longitud de 20 cm para que este resultado nos garantice que, como han pensado casi todos nuestros lectores, no podemos cubrir la mesa. Hay muchas demostraciones del resultado, pero ninguna es absolutamente inmediata, y la propia Sara Ferrer nos da dos. Una de ellas es la misma que se presenta en el vídeo para el desafío y la más frecuente entre las respuestas consideradas correctas, por ejemplo la que envía desde Luxemburgo Jesús Nieto:

Veamos la mesa como un rectángulo de 15 x 9 = 135 cuadrados (de 10 cm de lado)

El rollo puede cortarse tan corto como se quiera pero siempre la pieza tendrá 2 cuadrados (20 cm) en una dimensión, con lo que siempre cubrirá (algo) de cuadrados contiguos en horizontal o vertical.

Aquí viene el “ajá” Gardneriano (gracias al desafío 10): si coloreamos la mesa como un tablero de ajedrez en cuadrados blancos y negros, el área cubierta por una pieza cualquiera de papel de 2 de ancho (y cualquier largo) será siempre la mitad blanco y la mitad negro.

Nuestra mesa tiene 135 cuadrados (número impar donde los haya), con lo que no es posible que la mitad sean blancos y la mitad negros. Es una mesa no igualitaria (la pobre).

Luego no se puede cubrir la mesa (no igualitaria) con nuestras piezas de papel “igualitarias” que siempre cubren mitad blanco mitad negro.

Décimoséptimo desafío: Una mesa y un mantel (a retales)

Nuestro compañero Alberto Castaño Domínguez, estudiante de doctorado en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla, presenta el decimoséptimo de los desafíos matemáticos con los que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Puedes enviar tu solución antes de las 00.00 horas del martes 12 de julio (medianoche del lunes) a la dirección problemamatematicas@gmail.com.

Enunciado: Esta semana partimos del supuesto de que tenemos una mesa de 90 cm de ancho por 1,5 m de largo y queremos cubrirla con un rollo de papel que hemos comprado. El rollo tiene exactamente 20 cm de ancho, sólo podemos hacer cortes transversales y su área es idéntica a la de la mesa, por lo que no podremos desperdiciar ningún trozo ni superponerlo a otro. Además, al poner los trozos de mantel, solo se podrá hacer en horizontal o en vertical, nunca en diagonal. El desafío es encontrar una manera de cubrir la mesa o, si no se puede hacer, demostrar por qué.

Una estrella con dos ojos

Ya hay solución para el decimosexto desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Carmen Cascante Canut, decana de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Barcelona, planteó el problema y ahora lo resuelve. Esta semana queríamos construir una molécula plana formada por siete átomos de manera que en toda posible elección de tres átomos se cumpliera que al menos dos de ellos estuviesen a un ångström de distancia. Y pedíamos las coordenadas de la posición en el plano que ocuparían los siete átomos.

La figura pedida sí existe, tal y como explicamos en el pdf adjunto, y viene dado por un pentágono con dos puntos en su interior o como dice el hijo de Christian Chaya “tiene forma de estrella con dos ojos”. También puede verse como dos rombos idénticos de lado 1 y diagonal menor 1 con un vértice común, uno girado respecto al otro de manera apropiada tal y como dice en su respuesta José Gayo Millares: “Fijamos un rombo (formado por dos triángulos equiláteros de lado uno) y giramos el otro alrededor del punto de unión hasta que la distancia entre los otros dos extremos de la diagonal mayor sea la unidad”.

El 65% de las respuestas erróneas proponía un hexágono regular con el origen de coordenadas en el centro. Esta solución no puede ser válida pues tenemos dos posibilidades, si el lado del exágono ABCDEF es 1, un conjunto de 3 vértices no consecutivos, por ejemplo A C y E, no pueden satisfacer la condición pues forman un triángulo equilátero de lado mayor estrictamente que 1. Si el lado del exágono ABCDEF no es 1, entonces cualquier colección formada por dos vértices contiguos y el centro tampoco satisfacen la condición ya que forman un triángulo equilátero de lado distinto de 1.

El 15% de las soluciones no correctas intentaba probar que no podía construirse dicha molécula con los requisitos indicados.

Decimosexto desafío: Una molécula de siete átomos

Carmen Cascante Canut, decana de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Barcelona, presenta el décimosexto de los desafíos matemáticos con los que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Puedes enviar tu solución antes de las 00.00 horas del martes 5 de julio (medianoche del lunes) a la dirección problemamatematicas@gmail.com.

Enunciado: Como este año ha sido declarado Año internacional de la Química, el problema que os presentamos esta semana está relacionado con esta ciencia: Supongamos que queremos construir una molécula plana formada por siete átomos de manera que en toda posible elección de tres átomos de esta molécula se cumpla que al menos dos de ellos estén a un ångström de distancia.

Os pedimos que deis las coordenadas de la posición en el plano que ocuparán los siete átomos de una molécula plana cumpliendo la propiedad anterior, situando uno de los átomos en el origen de coordenadas e indicando las coordenadas de la posición en el plano de los otros seis átomos.