Arqueología matemática

La pizarra antigua ha aparecido en un aula de la planta baja del edificio universitario del Viaducto

En Alcoy (Alicante) se está reformando el edificio Viaducto, antigua sede de la Escuela Politécnica Superior, para albergar la Escuela Municipal de Bellas Artes.

Al retirar una pizarra se ha descubierto otra, que fue cubierta a principios de 1963 pero cuyo contenido no fue borrado. Sorprendentemente en la pizarra todavía estaba escrita la clase de matemátucas o cálculo que, probablemente el catedrático Delfín Cabo, impartió el 5 de febrero de 1963. ¡Hace casi 50 años!

He visto esta noticia en informacion.es

Aprenda un poco de inglés con… the 10 skills that will get you hired in 2013

From Forbes website

Here, the 10 most critical job skills to parlay in your job search for 2013:

No. 1 Critical Thinking (found in 9 out of the 10 most in-demand jobs)

Using logic and reasoning to identify the strengths and weaknesses of alternative solutions, conclusions or approaches to problems.

No. 2 Complex Problem Solving (found in 9 out of the 10 most in-demand jobs)

Identifying complex problems and reviewing related information to develop and evaluate options and implement solutions.

No. 3 Judgment and Decision-Making (found in 9 out of the 10 most in-demand jobs)

Considering the relative costs and benefits of potential actions to choose the most appropriate ones.

No. 4 Active Listening (found in 9 out of the 10 most in-demand jobs)

Giving full attention to what other people are saying, taking time to understand the points being made, asking questions as appropriate and not interrupting.

No. 5 Computers and Electronics (found in 8 out of the 10 most in-demand jobs)

Knowledge of circuit boards, processors, electronic equipment and computer hardware including applications and programs.

No. 6 Mathematics (found in 6 out of the 10 most in-demand jobs)

Knowledge of arithmetic, algebra, geometry, calculus, statistics and their application.

No. 7 Operations and Systems Analysis (found in 5 out of the 10 most in-demand jobs)

Determining how a system or operation should work and how changes in conditions, operations and environments will affect outcomes. Understanding the needs and product requirements of a particular design.

No. 8 Monitoring (found in 5 out of the 10 most in-demand jobs)

Monitoring and assessing performance of yourself, other individuals or organizations to make improvement or take corrective action.

No. 9 Programming (found in 3 out of the 10 most in-demand jobs)

Writing computer programming for various purposes.

No. 10 Sales and Marketing (found in 2 out of the 10 most in-demand jobs)

Knowledge of principles and methods for showing, promoting and selling products or services. Includes marketing strategy and tactics, product demonstration, sales techniques and sales control systems.

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Problemas tenemos tós (3): Uno de triángulos

Consideremos un punto \(P\) interior a un triángulo de vértices \(A\), \(B\) y \(C\). Si trazamos desde \(P\) tres rectas paralelas a cada uno de los lados, se forman los tres triángulos interiores que se ven en la figura.

Si las áreas de los triángulos interiores son 1, 4 y 9 ¿cuál es el área del triángulo de vértices \(A\), \(B\) y \(C\).?

En general, si las áreas de los triángulos pequeños son \(S_1\), \(S_2\) y \(S_3\) ¿es posible dar una fórmula para el cálculo del área del triángulo grande?

Esperamos las soluciones en blog.algebra@gmail.com antes de las 0:00 horas del 21 de enero.

Dejamos abierta la opción de hacer comentarios, aunque esperamos que no se aporten ahí las soluciones ni se den pistas demasiado evidentes.

De un polígono aleatorio a una elipse

Visto en matthen

Dibújense en un papel algunos puntos al azar y únanse de manera aleatoria formando un polígono. Encuéntrense todos los puntos médios y únanse en el mismo orden formando un nuevo polígono, y repítase.

El resultado, ademas de ser cada vez más pequeño ¡tenderá a una elipse!

Más información en From Random Polygon to Ellipse: An Eigenanalysis, de Adam N. Elmachtoub y Charles F. van Loan.

La solución a sus problemas (2): Chinatown

Bueno, parece que las fiestas navideñas no han sido muy propicias para resolver problemas, porque aunque algunos nos han asegurado que el problema 1 lo han conseguido resolver fácilmente, nadie ha perseverado lo suficiente para resolver el Problema 2. Tendremos que dejar el premio desierto esta vez, y pensarnos si ponemos un premio en metálico (¿un tornillo tal vez?) para la próxima.

Para los que tienen curiosidad por saber la solución, ahí va. Se admiten comentarios de ánimo a los sufridos pensadores de problemas. Snif.

El enunciado era el siguiente:

Supongamos que hay nueve amigos en un restaurante chino sentados en una mesa circular. Cada uno pide un plato diferente que el camarero va depositando en el centro de la mesa, en la típica plataforma giratoria que permite compartir los diferentes platos.

Problema 1 (fácil):

Supongamos que el camarero ha dispuesto los platos, cada uno frente a un comensal, de forma que ninguno de ellos cae frente al que lo había pedido. Demuéstrese que, girando la plataforma, es posible conseguir que al menos dos platos se sitúen frente a quien los encargó.

Problema 2 (no tan fácil):

Supongamos que el camarero ha dispuesto los platos de forma que exactamente dos de ellos caen frente a los que lo habían pedido. Demuéstrese que, girando la plataforma, existe otra posición distinta en la que también hay al menos dos platos que se sitúan frente a quien los encargó.

Solución:

Problema 1: Este problema se resuelve fácilmente con el conocido principio del palomar. Sabemos que la mesa tiene 9 posibles posiciones. A cada comensal le corresponde una posición de la mesa (la que le deja el plato delante) que no puede ser la posición dispuesta por el camarero. Por tanto hay 9 comensales para 8 posiciones, así que es imposible que a todos los comensales les correspondan posiciones distintas. Es decir, habrá alguna posición de la mesa que deje al menos dos platos frente a quien los encargó.

Problema 2: Vamos a numerar a los comensales (o a sus posiciones en la mesa) con los números del 0 al 8, de manera que los que tienen sus platos delante en la disposición original son el 0 y el \(i\).

La disposición de los platos es una permutación de estos 9 números \(\pi(0),\pi(1),\ldots,\pi(8)\), donde sabemos que \(\pi(0)=0\), que \(\pi(i)=i\) y que \(\pi(j)\neq j\) para todo \(j\neq i,0\). Observemos que, dado un comensal \(j\), el número de posiciones que hay que girar la mesa para que tenga el plato delante es \(\pi(j)-j \) (mod 9).

Veamos una propiedad interesante: la suma de todos los números \(\pi(j)-j\) es igual a 0, porque esta suma es igual a

\((\pi(0)+\pi(1)+\cdots+\pi(8)) -(0+1+\cdots +8) = (0+1+\cdots + 8)- (0+1+\cdots +8) = 0\).

Por tanto esta suma también es obviamente 0 (módulo 9).

Si los números \(\pi(j)-j\) con \(j\neq i,0\) fueran todos distintos (módulo 9), esto querría decir que hay 7 números distintos, entre 1 y 8, cuya suma es igual a 0 (módulo 9). Pero por otro lado los números del 1 al 8 suman 36, que es 0 (mod 9). Por tanto, si los 7 números citados fueran distintos, el número que falta sería 36 menos la suma de todos ellos, luego también sería 0 (módulo 9), lo cual es imposible. Por tanto, hay al menos dos números de la forma \(\pi(j)-j\) que son iguales (módulo 9) y no nulos. Girando la mesa precisamente ese número de posiciones, habrá al menos dos comensales con sus platos delante.

Curiosidad: ¡El enunciado del problema 2 sólo es válido si el número de comensales es impar! En efecto, hemos usado que la suma de los números del 1 al 8 es 0 (mod 9). Si tuviéramos \(n\) comensales, la suma de los números del 1 al \(n-1\) sería \(n(n-1)/2\), que es múltiplo de \(n\) si y sólo si \(n\) es impar (y por lo tanto \(n-1\) es par).

De hecho, para un número par (\(2k\)) de comensales, se pueden distribuir los platos de la forma: \(0,2,4,\ldots,2k-2,1,3,5,\ldots,2k-3,2k-1\), y los números \(\pi(j)-j\) (mod \(2k\)) serían \(0,1,2,\ldots,k-1,k+1,k+2,\ldots,2k-1,0\), siendo esta la única posición en que dos comensales (y no más) tienen sus platos delante. En la figura puede verse este ejemplo con 10 comensales, por si alguno quiere imprimirlo, recortarlo y comprobarlo, girando el círculo y acordándose al mismo tiempo de los teléfonos de su infancia.