Puntos visibles y números primos

Hay una forma muy visual de demostrar propiedades de los números primos. Consideremos los puntos del plano con coordenadas enteras positivas. Diremos que uno de esos puntos \((m,n)\) es visible desde el origen de coordenadas si no hay ningún otro punto con coordenadas enteras en el segmento que une \((0,0)\) y \((m,n)\). Es decir, si nos ponemos en \((0,0)\), no hay nigún otro punto que nos tape la vista de \((m,n)\).

(Para los listos: un punto es visible si y sólo si sus coordenadas son coprimas.)

Si un número primo es aquel entero \(p>1\) cuyos únicos divisores positivos son 1 y \(p\), veamos cómo podemos demostrar, usando los puntos visibles, la siguiente propiedad fundamental de los números primos:

Lema de Euclides: Si un primo \(p\) divide a un producto \(ab\), o bien \(p\) divide a \(a\), o bien \(p\) divide a \(b\).

Este resultado suele demostrarse usando la identidad de Bezout, que a su vez se suele deducir del algoritmo de Euclides. Pero nosotros lo demostraremos de forma más visual, a ver si esto ayuda a que los incrédulos queden convencidos…

En primer lugar, observemos que si trazamos una semirrecta desde \((0,0)\) en el primer cuadrante, y encuentra un punto visible con coordenadas enteras \((m,n)\), entonces los puntos con coordenadas enteras de esa semirrecta son precisamente los de la forma \((qm,qn)\) para todo número natural \(q\), ya que el dibujo que hizo la semirrecta hasta llegar a \((m,n)\) se repite indefinidamente.

Observemos el punto \((a,p)\). Quizás no sea visible. En este caso el segmento que va de \((0,0)\) a \((a,p)\) tendría un punto visible \((m,n)\) con \(n<p\), por lo que \((a,p)=(qm,qn)\) para algún \(q\). Como \(n\) divide a \(p\), que es primo, y es menor que él, debe ser \(n=1\). Luego \(p=q\) y por tanto \(a=pm\). Es decir, en este primer caso \(p\) divide a \(a\).

Queda el otro caso: que el punto \((a,p)\) sea visible. En este caso, los puntos con coordenadas enteras de la semirrecta que sale de \((0,0)\) y pasa por \((a,p)\) son los de la forma \((qa,qp)\) para todo número natural \(q\). Ahora simplemente tenemos que observar que el punto \((\frac{ab}{p},b)\) tiene coordenadas enteras (porque \(p\) divide a \(ab\)), y pertenece a la semirecta (porque es proporcional a \((a,p)\)). Por tanto, si miramos la segunda coordenada tenemos \(b =qp\), es decir \(p\) divide a \(b\).

QED

17 ecuaciones que cambiaron el mundo

Recientemente se ha publicado en España el libro de Ian Stewart (Universidad de Warwick) titulado 17 ecuaciones que cambiaron el mundo (Editorial Crítica, colección Drakontos).

Con este motivo El País ha realizado un fotorrelato que pasea por algunas de estas ecuaciones: El teorema de Pitágoras, ley de gravitación universal, distribución normal, ecuación de onda, ecuaciones de Maxwell, relatividad y segunda ley de la termodinámica.

Pueden ver aquí el fotorrelato.

Mujeres y matemáticas, 13 retratos

Visto en Divulgamat

Aunque es de 2008, queremos hoy traer a este blog el folleto “Mujeres y Matemáticas: 13 Retratos” editado por la Comisión Mujeres y Matemáticas de la RSME, financiado por la FECYT dentro del proyecto “La mujer como elemento innovador en la Ciencia”. Se trata de 13 retratos de mujeres que trabajan en diferentes ámbitos profesionales:

  • Pilar Bayer Isant (Académica correspondiente de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales)
  • María Jesús Carro Rossell (coordinadora del área de Matemáticas de la ANEP)
  • María Jesús Esteban Galarza (Investigadora del Centre National de la Recherche Scientifique CNRS, Francia)
  • Dorleta García Rodríguez (Trabajadora del la Fundación Azti-Tecnalia, Instituto Tecnológico Pesquero y Alimenticio)
  • Olga Gil Medrano (Presidenta de la RSME 2006-2009)
  • Ana Justel Eusebio (Miembro del equipo investigador del proyecto Limnopolar)
  • Ingeborg M.M. van Leeuwen (Investigadora del Departamento de Cirugía y Oncología en Dundee, Escocia)
  • María Teresa Lozano Imízcoz (Académica correspondiente de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales)
  • María Teresa Martínez Bravo (Analista cuantitativo del grupo Santander)
  • Sonia Martínez Díaz (Profesora del Departamento de Ingeniería Mecánica Aeroespacial en la Universidad de California-San Diego, USA)
  • Anabel Mediavilla Garay (Técnico de Proyecto en Deimos Space)
  • Elena Mendoza Lora (Directora General de Lenovo España y Portugal)
  • Xaro Nomdedeu Moreno (Catedrática de Matemáticas de Secundaria)

En el folleto se muestra su amor por la Ciencia, y en particular por la Matemática: cómo se aproximaron a Ella, cómo las sedujo y cómo les ha devuelto las horas de duro trabajo que le han dedicado. De ellas hemos querido oír un consejo para las nuevas generaciones. Además, nos ha interesado saber cómo valoran el papel actual de la mujer en sus campos científicos respectivos.

Se puede descargar el fichero PDF (preparado para imprimirse en formato folleto) de esta publicación.

¿Qué es un matemático?

Se cuenta que William Thomson, más conocido como Lord Kelvin, estaba dando clase en Glasgow cuando, al usar la palabra “matemático”, le preguntó a la audencia: “¿Saben ustedes qué es un matemático?”. Como los estudiantes no sabían bien qué responder él escribió en la pizarra

\(\displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}\)

Entonces les dijo: “Un matemático es alguien para quien esto es tan obvio como para vosotros que dos más dos es cuatro. Liouville era un matemático”.

Hay que decir que Joseph Liouville era muy admirado por Kelvin.

He visto esta anécdota en el blog de Mario Livio
en The Huffington Post.

Los porcentajes no se suman

Gracias a Malaprensa tenemos un nuevo ejemplo de anumerismo relacionado con los porcentajes.

Ya comentamos en su momento el error de Esperanza Aguirre al sumar porcentajes de cantidades distintas. Si me bajan el sueldo un 5% y después me lo vuelven a bajar otro 5% entonces el sueldo ha bajado un 10% (¡ERROR!).

En este artículo de La Voz de Galicia se afirma que los funcionarios de la Xunta sufren un recorte salarial del 20,2% (con un decimal y todo). Esta cantidad se obtiene de la suma de los porcentajes 5%, 7%, 2,9%, 2,4% y 2,9%, que corresponden a:

  • 5% de rebaja salarial de mayo de 2010 (resaltemos que es aproximado, pues no a todos los funcionarios se le bajó lo mismo).
  • 7% de rebaja correspondiente al recorte de una paga extra (también es una aproximación, de ahí que me sorprenda el decimal del resultado final).
  • 2,9%, 2,4% y 2,9% de las subidas del IPC correspondientes a 2011, 2012 y 2013.

Así que, en una nueva vuelta de tuerca, no sólo se suman porcentajes de sucesivos recortes sino que además se añaden las sucesivas subidas del IPC.

Creo que necesitamos que nos vuelvan a explicar aquello de sumar peras y manzanas…

Nota: Si suponemos que durante estos años el sueldo de los funcionarios debería haber subido lo mismo que el IPC, entonces la pérdida salarial es del 18,52%. Lo cual es mucho.