Triángulos rectángulos racionales

rectangulo

Teorema: El área de un triángulo rectángulo de lados racionales no puede ser un número racional al cuadrado.

Sean \(a\) y \(b\), los catetos, y \(c\), la hipotenusa, de un triángulo rectángulo racional. Sabemos que el área del triángulo es \(ab/2\).  Si este área es un número racional, pongamos \(r\), al cuadrado, tenemos la ecuación

\(\displaystyle \frac{ab}{2}=r^2\).

Dividiendo todos los lados por \(r\) obtendríamos un triángulo rectángulo de lados racionales \(a’=a/r\), \(b’=b/r\) y \(c’=c/r\), cuya área es

\(\displaystyle \frac{a’b’}{2}=1\).

Luego es suficiente demostrar el

Lema: El área de un triángulo rectángulo de lados racionales no puede ser uno.

Sean entonces \(a\) y \(b\), los catetos, y \(c\), la hipotenusa, de un triángulo rectángulo racional de área

\(\displaystyle \frac{ab}{2}=1\).

Si partimos de la ecuación

\((a^2-b^2)^2=(a^2+b^2)^2-4a^2b^2\)

y sustituimos \(ab=2\) y, aplicando el teorema de Pitágoras, \(c^2=a^2+b^2\), obtenemos

\((a^2-b^2)^2=c^4-16.\)

Pero hay un teorema de Fermat (ver aquí el teorema 3.10 y el corolario 3.14) que dice que la diferencia de dos potencias cuartas no puede ser un cuadrado.

Así que el área de los triángulos rectángulos racionales no puede ser \(1\) ni, en consecuencia, un número racional al cuadrado.

Profundizando un poco en este resultado, Euler llamó congruentes a los números racionales que son el área de algún triángulo rectángulo racional. El problema de determinar si un número es congruente está abierto, aunque hay un algoritmo de Jerrold Tunnell basado en que la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer sea correcta.

Si alguien está interesado en una generalización a triángulos racionales (no necesariamente rectángulos) puede leer este artículo.

Esta entrada es una traducción libre de ésta que apareció en el 
blog The Endeavour de John D. Cook.

Pitágoras sin palabras

Me ha gustado mucho el artículo de Raúl Ibáñez publicado en Cuaderno de Cultura Científica con éste mismo título: Pitágoras sin palabras.

De todas las demostraciones coincido con Raúl en que la más sorprendente es esta de James Abram Garfield.

James Abram Garfield (1831-1881) fue el presidente número 20 de los Estados Unidos de América, y el segundo en morir asesinado (después de Abraham Lincoln). Tuvo una carrera distinguida como congresista y como militar durante la Guerra Civil, posteriormente sería General en Jefe de las Fuerzas Armadas del EEUU. Antes de la Guerra Civil trabajó como profesor de lenguas clásicas. Su nombre está asociado a las matemáticas ya que en 1876 descubrió una nueva demostración del Teorema de Pitágoras haciendo uso de un trapecio (según cuentan lo descubrió en una discusión matemática con otros miembros del Congreso de los EEUU, cinco años antes de ser presidente).

Puntos visibles y números primos

Hay una forma muy visual de demostrar propiedades de los números primos. Consideremos los puntos del plano con coordenadas enteras positivas. Diremos que uno de esos puntos \((m,n)\) es visible desde el origen de coordenadas si no hay ningún otro punto con coordenadas enteras en el segmento que une \((0,0)\) y \((m,n)\). Es decir, si nos ponemos en \((0,0)\), no hay nigún otro punto que nos tape la vista de \((m,n)\).

(Para los listos: un punto es visible si y sólo si sus coordenadas son coprimas.)

Si un número primo es aquel entero \(p>1\) cuyos únicos divisores positivos son 1 y \(p\), veamos cómo podemos demostrar, usando los puntos visibles, la siguiente propiedad fundamental de los números primos:

Lema de Euclides: Si un primo \(p\) divide a un producto \(ab\), o bien \(p\) divide a \(a\), o bien \(p\) divide a \(b\).

Este resultado suele demostrarse usando la identidad de Bezout, que a su vez se suele deducir del algoritmo de Euclides. Pero nosotros lo demostraremos de forma más visual, a ver si esto ayuda a que los incrédulos queden convencidos…

En primer lugar, observemos que si trazamos una semirrecta desde \((0,0)\) en el primer cuadrante, y encuentra un punto visible con coordenadas enteras \((m,n)\), entonces los puntos con coordenadas enteras de esa semirrecta son precisamente los de la forma \((qm,qn)\) para todo número natural \(q\), ya que el dibujo que hizo la semirrecta hasta llegar a \((m,n)\) se repite indefinidamente.

Observemos el punto \((a,p)\). Quizás no sea visible. En este caso el segmento que va de \((0,0)\) a \((a,p)\) tendría un punto visible \((m,n)\) con \(n<p\), por lo que \((a,p)=(qm,qn)\) para algún \(q\). Como \(n\) divide a \(p\), que es primo, y es menor que él, debe ser \(n=1\). Luego \(p=q\) y por tanto \(a=pm\). Es decir, en este primer caso \(p\) divide a \(a\).

Queda el otro caso: que el punto \((a,p)\) sea visible. En este caso, los puntos con coordenadas enteras de la semirrecta que sale de \((0,0)\) y pasa por \((a,p)\) son los de la forma \((qa,qp)\) para todo número natural \(q\). Ahora simplemente tenemos que observar que el punto \((\frac{ab}{p},b)\) tiene coordenadas enteras (porque \(p\) divide a \(ab\)), y pertenece a la semirecta (porque es proporcional a \((a,p)\)). Por tanto, si miramos la segunda coordenada tenemos \(b =qp\), es decir \(p\) divide a \(b\).

QED

Carl Cowen y Eva Gallardo presentan la solución afirmativa al “problema del subespacio invariante”

Visto en la web de la facultad de Matemáticas de Sevilla
Carl Cowen y Eva Gallardo

La solución afirmativa al problema del subespacio invariante, ha sido presentada por Carl Cowen (Indiana University-Purdue University Indianapolis U.S.A.) y Eva Gallardo (Universidad Complutense de Madrid, licenciada en 1996 en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla y doctora por la Universidad de Sevilla) en el Congreso Bianual de la Real Sociedad Matemática Española que se celebró en Santiago de Compostela del 21 al 25 de Enero de 2013.

 Hay un problema de sencilla formulación que ha sido durante años de manera habitual considerado uno de los problemas más importantes del área de Análisis Funcional y Teoría de Operadores: El conocido como “problema del subespacio invariante” que se enuncia como: ¿Es cierto que todo operador lineal y continuo en un espacio de Hilbert  complejo (de dimensión mayor 1) deja invariante algún subespacio cerrado no trivial?

El problema se remonta a John von Newmann, el gran matemático húngaro-americano que en los años 30 demostró los primeros resultados, aunque no llegó a publicarlos, intentando aproximarse a dar una respuesta a dicho problema.  No fue hasta los años 50  en que fue planteado en la terminología actual.

Algunos enlaces relacionados con la noticia:

http://www.rsme.es/content/view/1199/1/

http://www.abc.es/local-galicia/20130125/abci-resuelven-santiago-problema-matematico-201301251458.html

http://www.elcorreogallego.es/galicia/ecg/dos-profesores-presentan-santiago-solucion-problemas-matematicos-mayor-impacto-mundo/idEdicion-2013-01-25/idNoticia-787896/

http://www.europapress.es/galicia/noticia-solucion-problema-matematico-neumann-tendra-considerables-aplicaciones-otras-escaner-medicos-20130125150633.html

http://www.cadenaser.com/cultura/audios/eva-gallardo-resuelve-problemas-dificiles-ventana-25-2013/csrcsrpor/20130125csrcsrcul_12/Aes/