Solamente tres puntos

1  Introducción

En las competiciones deportivas no es raro encontrar equipos modestos que plantan cara a otros de mayor presupuesto y potencial, y a veces obtienen la victoria. Sin embargo, en la jornada siguiente pierden con otro de igual o inferior categoría. En la liga de fútbol se asignan tres puntos por victoria, de forma independiente a quien se le haya ganado, un punto por empate, y cero puntos si se pierde. En caso de igualdad de puntos, el mejor es el que tenga la mayor diferencia de goles. La cuestión que planteamos es si existe alguna forma de premiar la victoria contra un equipo fuerte, y que no sean solamente tres puntos.

La clasificación final de la liga española en la temporada 2010/2011 aparece en la tabla siguiente.

Equipo

J

G

E

P

GF

GC

Dif

Puntos

1. FC Barcelona

38

30

6

2

95

21

+74

96

2. Real Madrid CF

38

29

5

4

102

33

+69

92

3. Valencia CF

38

21

8

9

64

44

+20

71

4. Villarreal CF

38

18

8

12

54

44

+10

62

5. Sevilla FC

38

17

7

14

62

61

+1

58

6. Athletic Club

38

18

4

16

59

55

+4

58

7. Atlético de Madrid

38

17

7

14

62

53

+9

58

8. RCD Espanyol

38

15

4

19

46

55

-9

49

9. CA Osasuna

38

13

8

17

45

46

-1

47

10. Sporting de Gijón

38

11

14

13

35

42

-7

47

11. Málaga CF

38

13

7

18

54

68

-14

46

12. Racing de Santander

38

12

10

16

41

56

-15

46

13. Real Zaragoza

38

12

9

17

40

53

-13

45

14. Levante UD

38

12

9

17

41

52

-11

45

15. Real Sociedad

38

14

3

21

49

66

-17

45

16. Getafe CF

38

12

8

18

49

60

-11

44

17. RCD Mallorca

38

12

8

18

41

56

-15

44

18. Deportivo de La Coruña

38

10

13

15

31

47

-16

43

19. Hércules CF

38

9

8

21

36

60

-24

35

20. UD Almería

38

6

12

20

36

70

-34

30

Tabla 1: Clasificación de la liga española 2010/2011

En los últimos años, la liga española no tiene mucha emoción en los puestos de cabeza, pero crea una gran incertidumbre en los puestos de descenso, donde la diferencia de puntos no es tan grande. Por ejemplo, en la clasificación anterior, la diferencia de puntos entre el noveno clasificado y el decimoctavo es de cuatro puntos solamente. Hemos escogido esta temporada para mostrar un criterio alternativo de clasificación donde se tenga en cuenta la obtención de puntos contra equipos fuertes, a pesar de que el Real Betis no jugaba, lo que resta valor a la calidad del campeonato. Continuar leyendo “Solamente tres puntos”

La dimensión de los reales como espacio vectorial racional es infinita

Atendiendo a la cardinalidad de los conjuntos no es difícil demostrar que el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre el cuerpo \(\mathbb{Q}\) de los números racionales. Pues todo espacio vectorial de dimensión finita sobre \(\mathbb{Q}\) debe ser numerable y \(\mathbb{R}\) no es un conjunto numerable.

La idea de esta entrada es dar una demostración directa, construyendo un conjunto infinito de números reales que sea linealmente independiente sobre \(\mathbb{Q}\). La siguiente demostración la hemos visto en el blog blocdemat en este artículo.

Sea \(A=\{\log (p)\mid p\mbox{ primo}\}\subset\mathbb{R}\). El conjunto \(A\) es infinito porque lo es el conjunto de los números primos y logaritmo es una función inyectiva.

Veamos que es linealmente independiente. Sean \(p_1,\ldots ,p_n\) primos distintos. Supongamos que existe una combinación lineal

\(c_1\log (p_1)+\cdots +c_n\log (p_n)=0\mbox{ con }c_i\in\mathbb{Q}.\)

Podemos suponer que los coeficientes \(c_i\) son enteros multiplicando por el mínimo común denominador.

La expresión anterior, usando las propiedades de los logaritmos, es

\(\log (p_1^{c_1}\cdots p_n^{c_n})=0.\)

De donde

\(p_1^{c_1}\cdots p_n^{c_n}=1.\)

Los enteros \(c_i\) pueden positivos, negativos o nulos. Pasando los \(p_i^{c_i}\) con \(c_i\) negativo al otro miembro, tenemos un mismo número natural escrito de dos formas distintas como producto de números primos. Por la unicidad de la factorización en primos, los exponentes deben ser todos nulos, es decir, \(c_1=\cdots =c_n=0\).

Luego el conjunto \(A\) es linealmente independiente.

Les Luthiers – El teorema de Thales

Este vídeo es ya un poco antiguo. Se trata del trabajo de fin de curso de Nicolas y Matías, que quisieron ilustrar con imágenes cotidianas de Buenos Aires el famosísimo tema de Les Luthiers.

Como hoy estamos de oferta 2×1, a continuación os dejo el vídeo con la reperesentación de esta obra en Chile. Magnífico.

Aprenda un poco de inglés con el último teorema de Fermat

Esta vez el cursillo de inglés va con subtítulos en Español. A continuación presentamos un documental que realizó la BBC acerca del último teorema de Fermat y la demostración de Andrew Wiles. Realmente exponemos la primera parte de las cinco en las que se ha dividido el vídeo en youtube, aunque también enlazamos las demás partes.

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 Enlaces a las otras partes: parte 2/5, 3/5, 4/5 y 5/5.

Aprenda un poco de inglés con la paradoja de Smale

Excelente vídeo que ilustra la paradoja de Smale:

Una vez iniciado el vídeo, pueden activar subtítulos en inglés pinchando en el boton del triángulito, después en el que pone “CC” y por último pinchar “Transcribed audio”. Puede haber errores porque se trata de una transcripción automática que hace youtube.