Categoría: Demostraciones

Atendiendo a la cardinalidad de los conjuntos no es difícil demostrar que el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre el cuerpo \(\mathbb{Q}\) de los números racionales. Pues todo espacio vectorial de dimensión finita sobre \(\mathbb{Q}\) debe ser numerable y \(\mathbb{R}\) no es un conjunto numerable.

La idea de esta entrada es dar una demostración directa, construyendo un conjunto infinito de números reales que sea linealmente independiente sobre \(\mathbb{Q}\). La siguiente demostración la hemos visto en el blog blocdemat en este artículo.

Sea \(A=\{\log (p)\mid p\mbox{ primo}\}\subset\mathbb{R}\). El conjunto \(A\) es infinito porque lo es el conjunto de los números primos y logaritmo es una función inyectiva.

Veamos que es linealmente independiente. Sean \(p_1,\ldots ,p_n\) primos distintos. Supongamos que existe una combinación lineal

\(c_1\log (p_1)+\cdots +c_n\log (p_n)=0\mbox{ con }c_i\in\mathbb{Q}.\)

Podemos suponer que los coeficientes \(c_i\) son enteros multiplicando por el mínimo común denominador.

La expresión anterior, usando las propiedades de los logaritmos, es

\(\log (p_1^{c_1}\cdots p_n^{c_n})=0.\)

De donde

\(p_1^{c_1}\cdots p_n^{c_n}=1.\)

Los enteros \(c_i\) pueden positivos, negativos o nulos. Pasando los \(p_i^{c_i}\) con \(c_i\) negativo al otro miembro, tenemos un mismo número natural escrito de dos formas distintas como producto de números primos. Por la unicidad de la factorización en primos, los exponentes deben ser todos nulos, es decir, \(c_1=\cdots =c_n=0\).

Luego el conjunto \(A\) es linealmente independiente.