Un sencillo acertijo

pulpo2El rey del mar tiene a su servicio pulpos de seis, siete y ocho tentáculos. Los pulpos de siete tentáculos sólo dicen mentiras, mientras que los de seis y ocho siempre dicen la verdad. Un día coincidieron en el ascensor cuatro de estos pulpos. El azul, en lugar de hablar del tiempo, dijo: “Entre nosotros cuatro sumamos 28 tentáculos”. El verde dijo: “Entre nosotros cuatro sumamos 27 tentáculos”. El amarillo comentó: “Entre nosotros cuatro sumamos 26 tentáculos”. Mientras que el rojo sentenció: “Entre nosotros cuatro sumamos 25 tentáculos”. Y los cuatro salieron del ascensor con la certeza de haber perdido el tiempo (al no hablar del tiempo), pues es evidente que todos sabían cuantos tentáculos había en el ascensor.

La pregunta es cuál de ellos dice la verdad, si es que hay alguno.

Nota: dada la sencillez del acertijo lo dejaremos abierto “sine die” sin dar la solución para que cualquiera que caiga por este blog por casualidad pueda pensarlo y resolverlo. Se ruega que se abstengan de hacer comentarios todos aquellos que no sean pulpos de siete tentáculos.

Este acertijo lo he visto en SudOuest.fr

Los desafíos matemáticos de… Le Monde

Todos recordamos la serie de Desafíos Matemáticos que, con motivo del centenario de la Real Sociedad Matemática Española, sacó el diario El País. Tuvieron tanto éxito que se publicaron 40 desafíos, en lugar de los 20 inicialmente previstos.

Acabo de descubrir que el diario francés Le Monde acaba de comenzar también una serie de desafíos matemáticos bajo el título original de Les défis mathematiques du “Monde”.

El primer desafío, sobre los numeros palíndromos, está presentado por Cédric Villani (medalla field 2010).

En este enlace pueden acceder a los desafíos hasta ahora publicados, así como a una serie de vídeos muy interesantes sobre matemáticas.

El collar de los enamorados

Un collar se rompió mientras jugaban

dos enamorados,

y una hilera de perlas se escapó.

La sexta parte al suelo cayó,

la quinta parte en la cama quedó,

y un tercio la joven recogió.

La décima parte el enamorado encontró

y con seis perlas el cordón se quedó.

Vosotros, los que buscáis la sabiduría,

decídme cuántas perlas tenía

el collar de los enamorados.

Antiguo problema hindú
Visto en "El señor del Cero" de Mª Isabel Molina
Esta entrada participa en la Edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas
cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

La solución a sus problemas (3): Uno de triángulos

Hemos recibido dos soluciones válidas al problema, aportadas por nuestros queridos lectores Ramón Piedra y Alberto Castaño.

Recordemos el enunciado del problema:

Consideremos un punto \(P\) interior a un triángulo de vértices \(A\), \(B\) y \(C\). Si trazamos desde \(P\) tres rectas paralelas a cada uno de los lados, se forman los tres triángulos interiores que se ven en la figura.

Si las áreas de los triángulos interiores son 1, 4 y 9 ¿cuál es el área del triángulo de vértices \(A\), \(B\) y \(C\).?

En general, si las áreas de los triángulos pequeños son \(S_1\), \(S_2\) y \(S_3\) ¿es posible dar una fórmula para el cálculo del área del triángulo grande?

Como bien dice Alberto, la solución afirmativa al problema general nos aporta la solución al primer problema. La solución que él aporta se basa en semejanza de triángulos. Dos triángulos se dicen semejantes si tienen los mismos ángulos y, en consecuencia por el teorema de Thales, sus lados son proporcionales.

Es evidente que en este caso, dado que las rectas trazadas desde \(P\) son paralelas a los lados, los tres triángulos pequeños son semejantes entre sí y semejantes al triángulo grande.

Dados dos triángulos semejantes \(T\) y \(T’\) tales que los lados de \(T\) son \(\lambda\) veces los de \(T’\), se deduce fácilmente que el área de \(T\) es \(\lambda^2\) la de \(T’\). Transcribimos desde aquí la solución dada por Alberto, que es muy parecida a la que habíamos pensado nosotros:

Por ser los triángulos semejantes, existirán tres constantes \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) y \(\lambda_3\) tales que

\(S_1 = \lambda_1^2S\), \(S_2 = \lambda_2^2 S\) y \(S_3 = \lambda_3^2 S\).

Es más, si, respectivamente, llamamos \(Q\) y \(R\) al corte de la recta paralela a \(AB\) que pasa por \(P\) con los lados \(AC\) y \(BC\) y \(X\) e \(Y\) a los cortes del lado \(AB\) con las rectas paralelas a \(AC\) y \(BC\) pasando por \(P\) , también tendremos que

\(QP =\lambda_1 AB,\ PR = \lambda_2 AB\mbox{ y }XY = \lambda_3 AB\).

Ahora bien, por ser \(AXPQ\) e \(YBRP\) dos paralelogramos, \(AX = QP\) e \(YB = PR\), con lo que \(QP + XY + P R = AB\). Reuniendo todo lo anterior, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

\(\left\{\begin{array}{l} S_1 = \lambda_1^2 S\\ S_2 = \lambda_2^2 S\\ S_3 = \lambda_3^2 S\\\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 =1.\end{array}\right.\)

Este sistema tiene como única solución

\(\displaystyle \lambda_1=\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}},\ \lambda_2=\frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}}\mbox{ y }\lambda_3=\frac{\sqrt{S_3}}{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}}\).

Y por lo tanto

\(S=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3})^2\)

En el contexto de la primera pregunta,

\(S = (1 + 2 + 3)^2 = 36\).

La solución que aporta Ramón es esencialmente la misma, aunque planteada a partir de las coordenadas baricéntricas de \(P\). Dados tres puntos no alineados \(A\), \(B\) y \(C\), se dice que las coordenadas baricéntricas de \(P\) son \((t_1,t_2,t_3)\) si

\(\overrightarrow{AP}=t_1\overrightarrow{AB}+ t_2\overrightarrow{AC}\) y \(t_1+t_2+t_3=1\).

A partir de aquí se prueba que la relación entre las áreas es justamente \(S_1=t_1^2S,\ S_2=t_2^2S\mbox{ y }S_3=t_3^2S\), que junto con \(t_1+t_2+t_3=1\) nos da el mismo sistema que resuelve Alberto.

Problemas tenemos tós (3): Uno de triángulos

Consideremos un punto \(P\) interior a un triángulo de vértices \(A\), \(B\) y \(C\). Si trazamos desde \(P\) tres rectas paralelas a cada uno de los lados, se forman los tres triángulos interiores que se ven en la figura.

Si las áreas de los triángulos interiores son 1, 4 y 9 ¿cuál es el área del triángulo de vértices \(A\), \(B\) y \(C\).?

En general, si las áreas de los triángulos pequeños son \(S_1\), \(S_2\) y \(S_3\) ¿es posible dar una fórmula para el cálculo del área del triángulo grande?

Esperamos las soluciones en blog.algebra@gmail.com antes de las 0:00 horas del 21 de enero.

Dejamos abierta la opción de hacer comentarios, aunque esperamos que no se aporten ahí las soluciones ni se den pistas demasiado evidentes.