La solución que proponemos tiene dos pasos. Empezamos por tomar el triángulo equilátero y, uniendo los puntos medios de sus lados, formamos 4 triangulitos equiláteros, lo que nos dan otros tantos prismas triangulares. Dividimos por tanto el prisma en 4 prismas idénticos más pequeños.
Cada uno de esos prismas pequeños tiene 30 cm de lado y 40 cm de altura. La mayor distancia que se puede alcanzar dentro de ese prisma es la diagonal de cualquiera de sus caras rectangulares que, por el teorema de Pitágoras, mide 50 cm. Como tenemos 5 partículas, al menos dos deben estar en el momento en que observamos en un mismo prisma pequeñito, y por tanto a distancia menor o igual que 50 cm.
Esto es un ejemplo del principio del palomar, pero para resolver el desafío completo, que pedía demostrar que hay dos partículas a distancia estrictamente menor que 50 cm, tenemos que trabajar un poco más apoyándonos en que los primas pequeños comparten algunas caras.
El siguiente paso consiste en ver qué pasa si en la caja con dos partículas éstas están a distancia exactamente 50 cm, es decir, ocupan los dos vértices de una diagonal. Vamos a tratar dos casos.
Primer caso: las dos partículas ocupan vértices de una cara del prisma interior. Entonces vemos que, si no hay partículas a menos de 50 cm, no puede haber más partículas en ninguno de los dos prismas que comparten esa cara, y que en realidad sólo hay lugar para dos partículas más (ver dibujo aquí).
Segundo caso: las dos partículas ocupan vértices de un prisma de los que tocan un vértice de la caja original (es decir, exterior). Si hubiese alguna partícula más en una cara interior, estaríamos en el caso anterior. Por tanto las otras partículas tienen que estar en vértices de la caja original y, de nuevo, sólo hay lugar para 4 partículas en total (ver dibujo aquí).
El vídeo se corta, también en la página web de El País. Así que por ahora debemos contentarnos con la solución escrita.
En cuanto esté arreglado pondremos el vídeo bueno.
Ya se ve el vídeo completo.