Un enunciado equivalente de la conjetura de Goldbach

Esta entrada está dedicada a nuestros alumnos de Álgebra Básica

150px-Greek_letter_phi_serif+sans.svgEn todas las áreas de la matemática hay problemas que se resisten a ser probados. Con frecuencia, las soluciones a estos problemas se obtienen mediante una brillante mezcla de resultados ya conocidos. Por este motivo es conveniente reformular problemas abiertos en enunciados equivalentes, de manera que se puedan dar nuevas perspectivas.

Por ejemplo, la irresuelta conjetura (fuerte) de Goldbach, que propone que todo número entero par mayor que \(2\) es suma de dos números primos, puede ser reformulada como una ecuación en la que aparece la función \(\phi\) o indicatriz de Euler.

Por definición, dos enteros \(m\) y \(n\) se dicen primos entre sí o coprimos si su máximo común divisor es igual a \(1\), \(\mbox{mcd} (m,n)=1\). Por ejemplo, \(4\) y \(7\) son primos entre sí.

La función \(\phi\) de Euler asigna a cada número entero positivo \(n\) la cantidad total de números enteros positivos menores que \(n\) que son primos con \(n\). Por ejemplo, los números \(1\), \(5\),\(7\) y \(11\) son todos primos con \(12\), mientras que \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(8\), \(9\) y \(10\) no. Luego \(\phi (12)=4\).

Si \(p\) es un número primo, todo número \(k\) menor que \(p\) es primo con \(p\), es decir,

\(\mbox{mcd}(p,k)=1\ \ \forall\ 0<k<p\).

Luego si \(p\) es primo entonces \(\phi (p)=p-1\).

Sabiendo esto, un enunciado equivalente de la conjetura de Goldbach es el siguiente: para todo número entero \(n\geq 1\) existen dos números primos \(p\) y \(q\) tales que

\(\phi (p) + \phi (q)=2n\).

Los matemáticos Paul Erdös y Leo Moser se preguntaron posteriormente si existen o no tales números \(p\) y \(q\) no necesariamente primo que verifican este enunciado.

De esta forma, el nuevo enunciado y las preguntas de Erdos y Moser llevan a un problema sobre la función \(\phi\) de Euler que, si no se demuestra por otra vía, será resuelto positivamente cuando se haya obtenido una prueba de la conjetura de Goldbach.

Este artículo es una traducción libre de la entrada The Strong
Goldbach Conjecture: An Equivalent Statement del blog
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4 respuestas a Un enunciado equivalente de la conjetura de Goldbach

  1. Antonio Rojas dijo:

    ¿No es al revés? La conjetura de Goldbach implica la de Erdös y Moser

  2. Alberto Portillo dijo:

    Es curioso que esta entrada esté dedicada a nosotros los alumnos de Álgebra Básica.

    Por una parte nos hace ver que los teoremas que damos en primero de carrera tienen una profundidad que muchas veces no llegamos a imaginar y por otra nos da la pista de que los ejercicios de los exámenes podrían ser tan difíciles como se quiera.

    Enhorabuena por el blog en general y por el post en particular.

    • miguelolalla dijo:

      Gracias por tu comentario, Alberto.

      Aprovecho para decir que es un buen ejercicio para un alumno de Álgebra Básica probar que ambos enunciados son equivalentes.

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