Un grupo infinito no cíclico cuyos subgrupos propios son cíclicos

Durante las últimas semanas hemos estado impartiendo algo de teoría de grupos en la asignatura Álgebra Básica. Uno de los resultados que se han demostrado en clase es el siguiente:

Teorema: Si \(G\) es un grupo cíclico entonces todos los subgrupos de \(G\) son cíclicos.

Es lógico preguntarse entonces si el recíproco no es cierto, es decir:

¿Es cíclico un grupo tal que todos sus subgrupos propios son cíclicos?

Para dar la respuesta, que es negativa, es suficiente poner un ejemplo. Es fácil encontrarlos entre los grupos finitos “conocidos”. En particular, el grupo diédrico \(D_3\) es un grupo no cíclico de orden 6 tal que todos sus subgrupos propios, de orden 2 y 3, son cíclicos. También podemos poner como ejemplo el de Klein, \(V_4\), o el de los cuaterniones, \(Q_8\).

Claro, a la vista de estos ejemplos uno podría preguntarse si la respuesta a la  pregunta anterior es afirmativa para grupos infinitos.

¿Es cíclico un grupo infinito tal que todos sus subgrupos propios son cíclicos?

Pero la respuesta es negativa y, de nuevo, basta dar un contraejemplo para confirmarlo.

Teorema: El subgrupo de \((\mathbb{Q}/\mathbb{Z},+)\), \(G=\{ a/2^k\mid a,k\in\mathbb{Z}, k\geq 0\}\subset \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\), es un grupo infinito no cíclico tal que todos sus subgrupos propios son cíclicos.

Nótese que podemos sustituir \(2\) por cualquier otro primo \(p\) fijo.

No es difícil comprobar que \(G\) no es cíclico, pues

\(1/2^n\notin\langle a/2^k\rangle\) para \(n>k\).

Dejamos para una entrada posterior (o no) la prueba de que todo subgrupo de \(G\) es cíclico.

Actualización (20/1/2013): Tal y como se había escrito el ejemplo inicialmente no funcionaba. En la entrada original se definió \(G=\{ a/2^k\mid a,k\in\mathbb{Z}, k\geq 0\}\) como un subgrupo de \((\mathbb{Q},+)\), en este caso el subgrupo \(H=\{ b/2^k\mid b\in\mathbb{Z}3, k\in\mathbb{Z}_{\geq 0}\}\subset G\) no es cíclico.

He visto esto en el blog de Dana C. Ernst
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