Una larga caminata

Ya hay solución para el decimoctavo desafío con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. David Obrador Sala, profesor de matemáticas de educación secundaria y miembro de la Associació Catalana de GeoGebra, planteó el problema y ahora lo resuelven (vídeo arriba). Esta semana teníamos que averiguar cuánto tiempo emplearía cada día una tribu instalada en algún lugar de un terreno con forma de triángulo equilátero de 10 kilómetros de lado en aprovisionarse de agua y alimentos en los tres bordes del territorio si se desplazara a una velocidad de 5 km/h.

Se han recibido 1.120 respuestas dentro del plazo, de las que aproximadamente un 50% observaban y demostraban que el tiempo que la tribu necesita para su recorrido diario es de 3,46 horas diarias y que esta cifra no depende del punto del triángulo en el que esté situado el poblado. Pensamos que este resultado, conocido entre los matemáticos como Teorema de Viviani, puede resultar curioso para quienes no lo conociesen (y aprovechamos para recordar que nuestro objetivo es llegar a un público amplio mediante desafíos variados).

Pasemos a la solución. Una buena demostración es la que nos ha enviado Manuel Pedrajas Estepa:

Sea un punto interior al triangulo equilátero, que dista en perpendicular (camino más corto) a los tres lados h1; h2; h3. Este punto y los vértices forman tres triángulos, cuyas áreas sumadas dan el área del triángulo grande, cuya altura H se calcula usando el Teorema de Pitágoras.

Por tanto 10*H/2= (10*h1+10*h2+10*h3)/2, así que siempre h1+h2+h3=H=(10*raíz(3))/2

Como es ida y vuelta tenemos que se recorrían 10*1.732, que a 5 km/h significan 2*1.732 horas. Resultado: 3,46 horas.

Otros soluciones utilizan un poco de trigonometría, las hay que incluyen applets de GeoGebra (como los usados en el vídeo, que se pueden encontrar en esta dirección para la experimentación y en esta otra para la demostración) y algunas, sin calcular áreas, se apoyan en nociones básicas de geometría, como la demostración sin palabras de Juan Canteli que aparece en el pdf adjunto.

Hay varios lectores que, puesto que el problema se presentó como una historia, han respondido del mismo modo (algunas, por cierto, muy literarias, originales y divertidas) entre ellos Xavier Giralt. Reproducimos su texto:

“El pequeño grupo de antepasados nuestros andaban dentro del triangulo buscando un buen lugar donde asentarse, cuando una pequeña niña gritó:

– ¡¡¡Aquí, aquí !!! … que en este prado lleno de flores la miel será bien rica – Pero hermanita – reaccionó su hermano mayor – debemos situarnos en el centro del triángulo, que así dedicaremos menos tiempo a andar hacia cada uno de los lados.

Afortunadamente había un anciano entre el grupo que explicó como en un triángulo equilátero la suma de las distancias entre un punto interior y cada uno de los lados es siempre la misma. De esta forma, podían elegir cualquier punto interior del terreno, que siempre recorrerían una distancia equivalente a la altura del triangulo para ir, y otra para volver.

Se asentaron junto al prado lleno de flores, sabiendo que recorrerían diariamente 2*10*cos(PI/6) km. El hermano mayor también sabia que recorrían 5 km cada hora, con lo que dedicarían 3,46 horas diarias a esos trayectos, ¡pero disfrutando también de la miel bien rica de ese prado lleno de flores!”

Como señala Xavier en su historia, no es necesario escoger un punto “especial” para resolver el desafío. Elegir un punto concreto ha sido el error más frecuente entre el 20% de respuestas que no han entrado en el sorteo.

¿Y el 30% restante? Son soluciones que indican que el tiempo que la tribu necesita es independiente del punto en que se sitúe el poblado, pero el argumento que dan no constituye realmente una demostración: muchos dicen que, puesto que no hemos dicho dónde está el poblado, la solución debe ser independiente de la localización. A pesar de todo, también han entrado en el sorteo ya que, a la vista de las respuestas, hemos revisado la presentación del desafío y pensamos que, si queríamos una demostración (¡y sí la queríamos!), teníamos que haber preguntado de otra manera (nosotros también aprendemos de vosotros).

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