Unos, ceros… y palomas

Ya hay solución para el decimoquinto desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Nuestro compañero Jesús Gago, de la Universidad de Sevilla, planteó el problema y ahora lo resuelve.

Recordemos que esta semana había que demostrar que dado un número natural cualquiera siempre tendrá al menos un múltiplo no nulo formado por unos y ceros. Se han recibido 370 respuestas, de las que un 74% son correctas. Por el reducido número de soluciones recibidas parece que no ha resultado un problema fácil, pero a muchos de nuestros lectores les ha servido para descubrir el Principio del Palomar, lo que nos alegra, aunque también hay soluciones que utilizan correctamente dicho principio sin saberlo.

La solución más breve es la siguiente: dado un número natural N, al dividir cualquier número natural entre N sólo se pueden obtener N restos distintos: 0, 1, 2,…, N-1. Por tanto, si consideramos N+1 números de la forma 1, 11, 111, 1111, 11111,…, necesariamente hay dos que dan el mismo resto al dividir entre N (¡esto es el Principio del Palomar!), y su diferencia es un múltiplo de N. Esta diferencia (restando el menor del mayor) la forman unos cuantos unos seguidos de unos cuantos ceros, con lo que hemos resuelto el desafío. Ésta es la demostración que ha dado ganador del sorteo.

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