Autor: miguelolalla

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Dos estudiantes de Estalmat-Catalunya Andrea Isern Granados, alumna de 3º de ESO en el Instituto Salvador Espriu de Barcelona, y Silvia Martos Baeza, alumna de 3º de ESO en el Instituto Cubelles, de Cubelles (Garraf, Barcelona) presentan el decimotercero de los desafíos matemáticos con los que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española.

Enunciado: Se quiere diseñar un adorno bordado para una camiseta siguiendo el esquema y las condiciones siguientes:

a) Las puntadas se realizarán en zigzag entre dos rectas que forman un ángulo alfa (ver dibujo en el vídeo).

b) La primera puntada empezará en el punto O, común a las dos rectas, y acabará en una de las rectas (que llamaremos horizontal).

c) Todas las demás puntadas deberán tener la misma longitud y se trazarán sin superponerse ni volver hacia atrás.

d) La última puntada debe ser perpendicular a la línea horizontal.

e) Queremos dar exactamente 20 puntadas.

Se pregunta: 1) ¿Cuál debe ser el ángulo alfa para que se cumplan esas condiciones? 2) Si la distancia entre O y el punto de la horizontal por donde pasa la última puntada fuera de 25 cm ¿Cuál sería la longitud de cada puntada? 3) ¿Qué ocurriría si quisiéramos hacer 21 puntadas en vez de 20 con las mismas condiciones, esto es, que la número 21 fuera perpendicular a la horizontal?

Ya hay solución para el duodécimo desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Josefa Ramírez Rodríguez, licenciada en matemáticas por la Universidad de Extremadura y responsable de Sistema de Información en el RACC planteó el problema (ver vídeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (ver el vídeo en El País): en la exhibición de coches participarán 400 vehículos, que en principio formaban un cuadrado de 20×20 y que terminarán formando un rectángulo de 25×16 automóviles. La solución es única, tal y como cuenta Josefa en el vídeo de la derecha y como demostraremos a continuación.

Vamos a suponer que n es el número de vehículos en cada lado del cuadrado incial, n+5 el número de vehículos en uno de los lados del rectángulo final y k el número de vehículos en el otro lado del rectángulo.

Si n^2 = (n+5) k, entonces n+5 divide a n^2 pero como claramente n+5 divide a (n+5)(n-5) = n^2 -25, necesariamente n+5 ha de dividir a 25 = n^2 -(n+5)(n-5) y, como los únicos divisores de 25 son 1, 5 y 25, se deduce que necesariamente n+5 = 25 y, por tanto, n = 20. Es decir, podemos afirmar con total seguridad que participarán 400 coches. Es más, se puede ver que n+5 divide a n^2 si y sólo si n+5 divide a 25.

Esta demostración tan sencilla, nos indica que si, en lugar de 5, hubiéramos pedido que se aumentara en un número primo p de filas, la respuesta hubiera sido que sí se puede decir con total seguridad que participarían (p^2 -p)^2 coches, mientras que si hubiéramos dicho que se aumentara en un número K que no es primo la respuesta hubiera sido que no se podía decir con total seguridad, pues el número de posibilidades que tendríamos serían el número de divisores de K^2 mayores estrictamente que K, ya que bastaría con que n+K fuera divisor de K^2 y el número de éstos es mayor que 1.

Hemos querido, no obstante, dar una demostración (larga) que pensamos podían intentar nuestros lectores y que daba la clave sobre qué es lo que tenían que probar. También podríamos haber optado por realizar la división n^2 /(n+5) y habríamos obtenido k = n^2 /(n+5) = n-5 + 25/(n+5) de donde claramente se obtiene que n+5 ha de dividir a 25.

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Josefa Ramírez Rodríguez, licenciada en matemáticas por la Universidad de Extremadura y Responsable de Sistema de Información en el RACC presenta el duodécimo desafío de EL PAÍS con el que celebramos el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del lunes 6 de junio (00.00 horas del martes).

Enunciado: Se quiere organizar una exhibición de coches de carreras de manera que al comienzo los vehículos formen un cuadrado (de n filas de coches de n coches cada una) y al final los mismos automóviles formen un rectángulo en el que el numero de filas inicial aumente en 5. ¿Puede saberse con total seguridad cuantos coches participarían en esa exhibición? En caso afirmativo, dar el número (justificando la respuesta) y en caso negativo explicar por qué no puede saberse.