British flag theorem

Hace unos días propusimos este reto geométrico. Lo podemos plantear como un caso particular del Teorema de la Bandera Británica. Este teorema afirma lo siguiente:

Si \(P\) es un punto interior a un rectángulo \(ABCD\), entonces la suma de los cuadrados de las distancias de \(P\) a dos vértices opuestos es igual a la suma de los cuadrados de las distancias de \(P\) a los otros dos vértices. Es decir, \(\overline{AP}^2+\overline{CP}^2=\overline{BP}^2+\overline{DP}^2\).

British flag theorem

Esta propiedad es una aplicación directa del Teorema de Pitágoras y dejamos su demostración como ejercicio.

En cuanto al reto, si \(P\) es el punto en la diagonal \(AC\) del que parten ambas semicircunferencias (ver imagen superior de la entrada), por el teorema de la bandera británica se tiene que \(\overline{AP}^2+\overline{CP}^2=4^2+4^2=32\).

Por otro lado, la suma de las áreas de ambos semicírculos es \(\frac{\pi}{2} (\frac{\overline{AP}}{2})^2+\frac{\pi}{2}(\frac{\overline{CP}}{2})^2=\frac{\pi}{8}(\overline{AP}^2+\overline{CP}^2)=4\pi\).

Conocí el Teorema de la bandera británica gracias @elderiofer

Calcula el área de la parte sombreada

Este reto geométrico también es de Catriona Shearer.

Ambas semicircunferencias están construidas sobre la diagonal de un cuadrado. ¿Cuánto suman las áreas de las dos semicircunferencias?

¡Cuidado! El que el valor sea independiente del punto escogido para trazar las semicircunferencias no es un dato.

La solución de este problema es un caso particular del british flag theorem.

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¿Qué fracción del cuadrado está sombreada?

Si tienes algo de tiempo libre a lo mejor te divierte intentar algunos retos geométricos. Este de Catriona Shearer no parece muy complicado. ¿Qué fracción del cuadrado está sombreada?

La intuición a veces puede ser de ayuda, pero convéncete del resultado con una demostración.

Puedes ver aquí una solución.