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Ya hay solución para el undécimo desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Varios niños del IES Alameda de Osuna de Madrid propusieron el problema y lo resuelven ahora: es posible hacerlo en una sola pesada eligiendo bien el número de tornillos que se extraen de cada caja (de hecho hay cuatro soluciones posibles).
Recordemos el enunciado del problema: Tenemos seis cajas con 13 tornillos cada una. En tres cajas los tornillos pesan seis gramos cada uno y en las otras tres los tornillos pesan cinco gramos cada uno (todos los tornillos de cada caja pesan lo mismo), pero las cajas tienen todas el mismo aspecto. Tenemos también una báscula de precisión a nuestra disposición (no una balanza) donde podemos pesar los tornillos que queramos. ¿Cuál es el mínimo número de veces que necesitamos utilizar la báscula para saber qué cajas contienen los tornillos de cinco gramos y de qué manera se haría?
La solución es que puede conseguirse con una solo pesada. En ella incluiremos un número diferente de tornillos de cada caja (entre el 0 y el 13). Si el total de tornillos que pesamos es N, el peso será 5xN más el número de tornillos que hayamos usado de las 3 cajas con tornillos de 6 gramos.
Probemos primero con un tornillo de la primera, dos de la segunda, tres de la tercera… En total tendremos 21 tornillos en la báscula y, por tanto marcará 21 X 5 = 105 gr mas un gramo por cada tornillo de las cajas de 6 gramos que hayamos puesto. Si la báscula marcara 112 gr sabríamos que hay 7 tornillos de 6 gramos y, como 7 = 1 + 2 +4, los tornillos de 6 gramos estarían en las cajas a, b y d. Lo malo es que si la báscula marca, por ejemplo, 114 gr sabríamos que hay 9 tornillos de 6 gramos pero como 9 se puede escribir de muchas formas distintas como suma de tres de esos números (9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 2 +3 + 4) no podemos saber de qué cajas los he cogido.
Así que, para evitar confusiones, tenemos que conseguir 6 números entre 0 y 13 de manera tal que las sumas de tres de ellos sean siempre números distintos. Para ello se debe cumplir además que la suma de dos de ellos sean distintas (si por ejemplo en mi lista esta tengo 1, 2, 3, 4 y dos números más , como 1 + 4 = 2 + 3 usando otro de los números tendré dos ternas -grupos de tres- que suman lo mismo).
El desafío, tal y como está planteado, admite cuatro posibles soluciones: 0, 1, 2, 4, 7, 13 y su complementaria (restando de 13) 0, 6, 9, 11, 12, 13, que son las dos que aparecen en el vídeo, y también 0, 1, 2, 7, 10, 13 y su complementaria 0, 3, 6, 11, 12, 13. La primera, la que encuentran nuestros jóvenes presentadores, es la que requiere pesar menos tornillos. Decimos que hay sólo cuatro soluciones porque no importa de qué caja se tome cada número de tornillos. Si queremos tomar en consideración las 720 maneras en que podemos ordenar las cajas las soluciones serían 2880.
