La conjetura de Casas-Alvero

Una de las entradas que más nos gustan de Gaussianos es ésta sobre la conjetura de Casas-Alvero.

Inicialmente Gaussianos lo publicó como un problema propuesto por la página sin referir que era un problema abierto, para ver qué ideas aportaban sus lectores.

Sea \(f(x)\) un polinomio de grado \(n>0\) con coeficientes complejos que comparte un cero (una solución) con cada una de sus derivadas no triviales (es decir, tal que \(f(x)\) y \(f^{k)}(x)\) tienen una raíz común para \(k=1,\ldots ,n-1\)). Demostrar que entonces debe ser

\(f(x)=a\cdot (x-b)^n\)

para ciertos números complejos \(a\) y \(b\) o encontrar un polinomio distinto al anterior que cumpla las condiciones anteriores.

Evidentemente uno de ellos se dio cuenta, pues sus lectores son (¿somos?) bastante avispados.

Posteriormente publicó este post, antes refereido, en el que Eduardo Casas-Alvero cuenta la conjetura de Casas-Alvero:

La ahora llamada conjetura de Casas-Alvero surgió como pregunta hacia 1998-99. Yo (Eduardo) acababa de obtener unos resultados sobre curvas polares (que luego aparecieron en Journal of Algebra 240(1), 2001) y estaba intentando establecer a partir de ellos un criterio de irreducibilidad para series de potencias en dos variables con coeficientes complejos. En determinado momento necesité usar que un polinomio en una variable que comparte raíces con todas sus derivadas de grado positivo es potencia de uno lineal. Al principio me pareció un hecho que no debía de ser difícil, de modo que lo dejé de lado para dedicarme a lo que parecían ser partes más serias de la demostración del criterio. Con todos los cabos más o menos atados volví al problema en una variable para descubrir que no era nada fácil. Estuve un tiempo intentando diversos tipos de argumentos y todo lo que conseguí fueron varias retorcidas maneras de obtener las fórmulas de Cardano, pero ninguna demostración de lo que quería. Luego empecé a preguntar a los colegas: primero a los de mi universidad, más tarde en congresos y visitas a otras universidades, en mis conferencias… Todo lo que obtuve fueron entretenidas discusiones, pero ningún avance, hasta que Lalo González-Vega (U. de Cantabria) me escuchó la pregunta y junto con Gema M. Díaz-Tocaprobó que el resultado era cierto para polinomios de grado menor o igual que ocho (Maple conference 2006. Proceedings of the conference, Waterloo, Ontario, Canada, July 23-26, 2006, pages 81-98, Waterloo, 2006. Maplesoft, la primera publicación sobre el tema, que yo sepa).

En 2007, Hans-Christian Graf von Bothmer, Oliver Labs, Josef Schicho, y Christiaan van de Woestijne publicaron en Journal of Algebra la demostración del hecho para polinomios cuyo grado es potencia de primo o el doble de potencia de primo; puede verse en http://arxiv.org/abs/math/0605090 . Recientemente (2010) Jan Draisma (Eindhoven) y Johan P. de Jong, han obtenido una demostración más simple que extiende el resultado a polinomios de grado y , para p primo; han escrito además artículos de divulgación y un curioso applet sobre el problema (que puede verse en esta web).

Por mi parte he vuelto al problema un par de veces en estos años sin resultados (encontré una demostración preciosa, con polígonos curvilíneos e inversiones del plano, pero totalmente falsa). El criterio de irreduciblidad para series sigue pendiente y no descarto volver a trabajar en él (y en la conjetura si no puedo evitarla) en cuanto tenga algo de tiempo.