Ya hay solución para el duodécimo desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Josefa Ramírez Rodríguez, licenciada en matemáticas por la Universidad de Extremadura y responsable de Sistema de Información en el RACC planteó el problema (ver vídeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (ver el vídeo en El País): en la exhibición de coches participarán 400 vehículos, que en principio formaban un cuadrado de 20×20 y que terminarán formando un rectángulo de 25×16 automóviles. La solución es única, tal y como cuenta Josefa en el vídeo de la derecha y como demostraremos a continuación.
Vamos a suponer que n es el número de vehículos en cada lado del cuadrado incial, n+5 el número de vehículos en uno de los lados del rectángulo final y k el número de vehículos en el otro lado del rectángulo.
Si n^2 = (n+5) k, entonces n+5 divide a n^2 pero como claramente n+5 divide a (n+5)(n-5) = n^2 -25, necesariamente n+5 ha de dividir a 25 = n^2 -(n+5)(n-5) y, como los únicos divisores de 25 son 1, 5 y 25, se deduce que necesariamente n+5 = 25 y, por tanto, n = 20. Es decir, podemos afirmar con total seguridad que participarán 400 coches. Es más, se puede ver que n+5 divide a n^2 si y sólo si n+5 divide a 25.
Esta demostración tan sencilla, nos indica que si, en lugar de 5, hubiéramos pedido que se aumentara en un número primo p de filas, la respuesta hubiera sido que sí se puede decir con total seguridad que participarían (p^2 -p)^2 coches, mientras que si hubiéramos dicho que se aumentara en un número K que no es primo la respuesta hubiera sido que no se podía decir con total seguridad, pues el número de posibilidades que tendríamos serían el número de divisores de K^2 mayores estrictamente que K, ya que bastaría con que n+K fuera divisor de K^2 y el número de éstos es mayor que 1.
Hemos querido, no obstante, dar una demostración (larga) que pensamos podían intentar nuestros lectores y que daba la clave sobre qué es lo que tenían que probar. También podríamos haber optado por realizar la división n^2 /(n+5) y habríamos obtenido k = n^2 /(n+5) = n-5 + 25/(n+5) de donde claramente se obtiene que n+5 ha de dividir a 25.