Mes: octubre 2011

Rafael Tesoro, licenciado y máster en Matemáticas por la Universidad Autónoma de Madrid y responsable de planificación y control de proyectos en Sainsel Sistemas Navales SAU, presenta el 33º desafío con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española.

Lanzamos repetidas veces una moneda que no esté trucada y anotamos 1 cuando sale cara y 0 cuando sale cruz. Conseguimos así una serie de cifras binarias o bits que es aleatoria y no tiene sesgo. Por ejemplo, yo he conseguido una que empieza así:

0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1

Decimos que la serie no tiene sesgo porque en cada tirada la probabilidad de 1 es igual a la probabilidad de 0. Decimos que la serie es aleatoria porque nunca se puede adivinar el resultado que saldrá en la siguiente tirada, a diferencia de lo que, por ejemplo, pasa con estas otras series:

0 1 0 1 0 1 0 1….

0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1…

dentro de las cuales detectamos un patrón con el que, si conocemos unos cuantos bits de la serie, podemos adivinar cuál será el siguiente bit. (Apostaríamos tranquilos a que las dos últimas series no han sido obtenidas lanzando una moneda).

¿Para qué sirven las series de bits aleatorias y sin sesgo? Por ejemplo, para generar números aleatorios del tipo que se usan para sortear el ganador en cada desafío matemático de EL PAÍS. Pero esta semana no tenemos ninguna moneda. ¿Que podemos hacer?… Por suerte, hemos conseguido unas tabas.

La taba es un hueso que los mamíferos tenemos en el pie. Las de los corderos se usan para jugar desde tiempo inmemorial: aparecen en estatuas romanas y también en el cuadro Juegos de niños de Brueghel el Viejo. Los habitantes de algunos lugares de España mantienen una ancestral tradición de reunirse para apostar usando tabas. Por ejemplo, estas que me han prestado vienen de Colmenar Viejo, cerca de Madrid, en donde se juega con ellas los días de San Andrés y de Santa Lucía.

Cualquier taba está cargada porque no es simétrica respecto a su centro de gravedad y, aunque tiene cuatro formas distintas de caer, nosotros tendremos en cuenta dos posibles resultados. Vamos a lanzar repetidas veces una misma taba y anotamos 1 cuando queda hacia arriba la parte hundida del hueso (pintada de negro en las que yo tengo aquí) y anotamos 0 si la taba cae de cualquier otra forma. La taba tiene carga, así que -casi seguro- obtendremos una serie aleatoria de bits con sesgo. Notemos que los tamaños y las formas de las tabas varían y por eso cada taba tiene su propia carga, distinta de las demás.

El desafío de esta semana es el siguiente: a partir de la serie aleatoria de bits conseguida lanzando repetidamente una misma taba, obtener una serie de bits -que necesariamente será más corta que la serie de partida- que no se pueda distinguir de la que produce una moneda sin trucar, es decir: obtener una serie de bits aleatoria y sin sesgo.

La solución a este desafío debe incluir una breve explicación de las operaciones y los pasos que llevan desde la serie de bits de la taba hasta una serie aleatoria de bits sin sesgo. La solución ha de funcionar usando una única taba, que puede ser cualquiera: por ejemplo, una de las tres que yo tengo aquí u otra taba que vosotros tengáis.

La solución que proponemos tiene dos pasos. Empezamos por tomar el triángulo equilátero y, uniendo los puntos medios de sus lados, formamos 4 triangulitos equiláteros, lo que nos dan otros tantos prismas triangulares. Dividimos por tanto el prisma en 4 prismas idénticos más pequeños.

Cada uno de esos prismas pequeños tiene 30 cm de lado y 40 cm de altura. La mayor distancia que se puede alcanzar dentro de ese prisma es la diagonal de cualquiera de sus caras rectangulares que, por el teorema de Pitágoras, mide 50 cm. Como tenemos 5 partículas, al menos dos deben estar en el momento en que observamos en un mismo prisma pequeñito, y por tanto a distancia menor o igual que 50 cm.

Esto es un ejemplo del principio del palomar, pero para resolver el desafío completo, que pedía demostrar que hay dos partículas a distancia estrictamente menor que 50 cm, tenemos que trabajar un poco más apoyándonos en que los primas pequeños comparten algunas caras.

El siguiente paso consiste en ver qué pasa si en la caja con dos partículas éstas están a distancia exactamente 50 cm, es decir, ocupan los dos vértices de una diagonal. Vamos a tratar dos casos.

Primer caso: las dos partículas ocupan vértices de una cara del prisma interior. Entonces vemos que, si no hay partículas a menos de 50 cm, no puede haber más partículas en ninguno de los dos prismas que comparten esa cara, y que en realidad sólo hay lugar para dos partículas más (ver dibujo aquí).

Segundo caso: las dos partículas ocupan vértices de un prisma de los que tocan un vértice de la caja original (es decir, exterior). Si hubiese alguna partícula más en una cara interior, estaríamos en el caso anterior. Por tanto las otras partículas tienen que estar en vértices de la caja original y, de nuevo, sólo hay lugar para 4 partículas en total (ver dibujo aquí).

Sofía Nieto, estudiante de doctorado en Matemáticas en la Universidad Autónoma de Madrid, presenta el trigésimo segundo desafío con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española.

Tenemos una caja con forma de prisma recto de altura 40 cm y base un triangulo equilátero de lado 60 cm. Introducimos en ella 5 partículas, que hay que pensar que son como puntos, que se mueven al azar por la caja.

El desafío consiste en demostrar que, en cualquier momento que observemos las partículas dentro de la caja, habrá al menos dos partículas que disten entre sí estrictamente menos de 50 cm.