Mes: junio 2011

Ya hay solución para el decimoquinto desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Nuestro compañero Jesús Gago, de la Universidad de Sevilla, planteó el problema y ahora lo resuelve.

Recordemos que esta semana había que demostrar que dado un número natural cualquiera siempre tendrá al menos un múltiplo no nulo formado por unos y ceros. Se han recibido 370 respuestas, de las que un 74% son correctas. Por el reducido número de soluciones recibidas parece que no ha resultado un problema fácil, pero a muchos de nuestros lectores les ha servido para descubrir el Principio del Palomar, lo que nos alegra, aunque también hay soluciones que utilizan correctamente dicho principio sin saberlo.

La solución más breve es la siguiente: dado un número natural N, al dividir cualquier número natural entre N sólo se pueden obtener N restos distintos: 0, 1, 2,…, N-1. Por tanto, si consideramos N+1 números de la forma 1, 11, 111, 1111, 11111,…, necesariamente hay dos que dan el mismo resto al dividir entre N (¡esto es el Principio del Palomar!), y su diferencia es un múltiplo de N. Esta diferencia (restando el menor del mayor) la forman unos cuantos unos seguidos de unos cuantos ceros, con lo que hemos resuelto el desafío. Ésta es la demostración que ha dado ganador del sorteo.

El nuevo desafío de El País lo presenta nuestro compañero de departamento Jesús Gago:

El problema parte de la observación de que todos los números naturales tienen al menos un múltiplo no nulo que está formado solamente por ceros y unos. (Por ejemplo: 1×100=10; 2×5=10; 3×37=111; 4X25=100; 5X2=10; 6X185=1110; 7×143=1001; 8X125=1000; 9×12345679=111111111… y así para cualquier número natural). La pregunta de la semana es: ¿por qué sucede esto?

Pueden enviar su solución antes de las 00.00 horas del martes 28 de junio (medianoche del lunes) a la dirección problemamatematicas@gmail.com.

Ya hay solución para el decimocuarto desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Nuestro compañero Antonio Aranda, del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla, resuelve el problema (ver vídeo arriba). La respuesta a la pregunta de esta semana es que no existe una secuencia de choques tal que todas las partículas acaben en el mismo estado. Pero había que demostrarlo. Se han recibido 1.020 respuestas, de las que un 80% eran correctas: demostraban que no era posible llegar a una situación con todas las partículas en el mismo estado y la demostración no tenía errores.

Solución: Supongamos que hubiera solución, y que todas las partículas fuera finalmente neutras (por ejemplo). Eso quiere decir que habría 0 partículas positivas y 0 negativas, y por tanto el número de partículas positivas sería igual al de negativas.

Por otra parte, la resta entre el número de partículas positivas y el número de negativas, cuando se produce un choque, sólo puede:

– Quedarse como está, si el choque es entre una partícula positiva y otra negativa.

– Aumentar en 3, si el choque es entre una negativa y una neutra.

– Disminuir en 3, si el choque es entre una positiva y una neutra.

En particular, dicha resta sólo varía de tres en tres. Eso quiere decir que la resta sólo puede ser cero si inicialmente es múltiplo de 3. Como la resta inicial es 30-10=20, se deduce que nunca puede ser cero, es decir, que el número de partículas positivas nunca puede ser igual al de negativas.

El mismo razonamiento sirve para justificar que no podemos acabar con partículas todas positivas, o todas negativas.

Hoy tenemos una grata sorpresa, el desafío que esta semana publica El País está presentado por nuestro compañero Antonio Aranda, es el primero de los cuatro que han grabado miembros del departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla.

Les dejo con el vídeo, espero que disfruten del problema y… ¡hasta luego, Lucas!

Enunciado del desafío: En un recinto cerrado tenemos un conjunto de partículas en tres estados diferentes: positivo, negativo y neutro. Inicialmente hay 30 partículas positivas, 10 negativas y 17 neutras. En un momento dado, las partículas comienzan a moverse y a chocar entre ellas. Así, cuando dos partículas de diferente estado chocan, ambas cambian al estado restante. Es decir, si chocan una partícula positiva y otra negativa, tras el choque se convierten en dos neutras. De la misma manera, si chocan una negativa y una neutra se convierten en dos positivas; y si chocan una neutra y una positiva se convierten en dos negativas. Esto significa que cada vez que chocan dos partículas de diferente signo, hay una partícula menos de cada uno de sus estados mientras que al estado restante se incorporan dos unidades. Cuando colisionan dos de igual signo, no varían su estado.

La pregunta de esta semana es si es posible diseñar una secuencia de choques de forma que al final todas las partículas acaben teniendo el mismo estado. Si es posible, hay que explicar cómo hacerlo. En caso contrario, hay que demostrar por qué no se puede.

Pueden enviar su solución antes de las 00.00 horas del martes 21 de junio (medianoche del lunes) a la dirección problemamatematicas@gmail.com.