Ya hay solución para el decimonoveno desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española (ver el vídeo conmemorativo). Juan González-Meneses, Profesor Titular de la Universidad de Sevilla propuso el problema y lo resuelve ahora (vídeo arriba): hay una manera de descomponer 2^2012 como suma de cuatro cuadrados, y ninguna manera de descomponer 2^2011.
Esta semana se han recibido 320 respuestas, de las que un 50% daban la respuesta correcta. De las respuestas correctas, aproximadamente la mitad usaban un razonamiento similar a la solución propuesta en el vídeo, y el resto hacía uso del Teorema de Jacobi, que da el número de formas de escribir un número natural como suma de cuatro cuadrados… de números enteros (incluyendo el cero, y contando como soluciones distintas las que se obtienen al cambiar de orden los sumandos).
Algunas respuestas calculaban la descomposición de pequeñas potencias de 2, y daban por supuesto que para potencias de 2 más grandes se seguía el mismo patrón. Aunque esto sea cierto, la simple observación de los primeros casos no garantiza que la misma propiedad sea cierta para potencias de 2 mayores. Por tanto, este tipo de respuestas no se puede considerar como válida.
Recordemos el problema: queremos saber de cuántas formas se puede descomponer 2^2012 (y también 2^2011) como suma de cuatro cuadrados perfectos de números naturales (sin incluir el cero).
La solución propuesta por el Profesor González-Meneses es la siguiente:
Supongamos que tenemos una forma de escribir 2^2012 como suma de cuatro cuadrados: 2^2012=A^2+B^2+C^2+D^2. Para obtener información sobre estos cuatro números A, B, C y D, usaremos un método muy útil para trabajar con números grandes: miraremos los restos que se obtienen al dividir cada sumando por un número pequeño, en este caso, el 8.
Veamos cuál es el resto de dividir A^2 entre 8.
Si A es par (múltiplo de 2), su cuadrado será múltiplo de 4. Por tanto, el resto de dividir A^2 entre 8, en este caso, debe ser 0 o 4.
Si A es impar, se escribirá A=2k+1. Su cuadrado será A^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1. Observemos que, o bien k, o bien k+1 debe ser par, luego 4k(k+1) es múltiplo de 8. Por tanto, el resto de dividir A^2 entre 8, en este caso, es 1.
Análogamente, el resto de dividir B^2, C^2 o D^2 entre 8 debe ser también 0, 1 o 4.
Como la suma de los cuatro cuadrados es igual a 2^2012, que es múltiplo de 8, los cuatro restos deben sumar obligatoriamente 0, 8 o 16. Y como los restos sólo pueden ser 0, 1 o 4, se observa fácilmente (por ejemplo haciendo todas las combinaciones posibles), que nunca puede haber un 1. Es decir, A, B, C y D deben ser pares, y podremos escribirlos A=2a, B=2b, C=2c y D=2d.
Pero entonces, si tomamos la igualdad 2^2012=A^2+B^2+C^2+D^2 y la dividimos entre 4, obtenemos 2^2010=a^2+b^2+c^2+d^2. Podemos ahora repetir el argumento, concluyendo que a, b, c y d son pares, lo que nos da una descomposición como suma de cuatro cuadrados de 2^2008, luego otra de 2^2006, 2^2004, etc, dividiendo cada vez por 4 la igualdad anterior. Esto nos llevaría a obtener una descomposición de 2^2=4 como suma de cuatro cuadrados. Pero la única descomposición posible es 4=1+1+1+1, que sólo puede provenir de 2^2012=2^2010+2^2010+2^2010+2^2010. Es decir, 2^2012=(2^1005)^2+(2^1005)^2+(2^1005)^2+(2^1005)^2 es la única forma de descomponer 2^2012 como suma de cuatro cuadrados.
En el caso de 2^2011, el mismo argumento nos dice que cualquier descomposición de 2^2011 como suma de cuatro cuadrados, nos daría otra de 2^2009, 2^2007, etc. hasta llegar a 2^1=2. Pero como 2 no se puede descomponer como suma de cuatro cuadrados, se deduce que no hay ninguna manera de descomponer 2^2011 como suma de cuatro cuadrados. Continuar leyendo “Una única suma posible de cuadrados”
