Autor: miguelolalla

Recordemos el problema: asignamos un número (1 o -1) a cada uno de los vértices de un cubo. Tendremos entonces ocho números. A continuación multiplicamos los cuatro vértices de cada cara para obtener otros seis números, que también tendrán que ser 1 o -1. Pues bien, se trataba de conseguir un cubo en que la suma de esos 14 números dé cero. O demostrar en su caso por qué dicho cubo no puede existir.

Y, efectivamente, ese cubo no puede exisitir… pero hay que demostrarlo. Para este desafío se recibieron 980 respuestas dentro del plazo previsto, de las que el 85% eran correctas. La mayoría daban soluciones similares a la de Izar y Paula (ver vídeo en El País), alumnas de 4º de la ESO e integrantes del proyecto ESTALMAT pero un cierto número razonaban correcta y elegantemente de esta manera: Para que la suma de los 14 valores dé 0, debe haber siete +1 y siete -1, de manera que el producto de los 14 números debe ser -1. Pero si llamamos A, B, C, D, E, F, G, H a los valores de los vértices, como cada vértice multiplica a 3 caras distintas, resulta que si multiplicamos los 14 valores obtenemos (ABCDEFGH)^4, una potencia cuarta y por tanto necesariamente un número positivo, lo que es contradictorio con este producto debiese ser -1. Por tanto el cubo de suma cero no puede existir.

Izar Alonso (IES Diego Velázquez de Torrelodones) y Paula Sardinero (Colegio Virgen de Europa de Boadilla del Monte), estudiantes de 4º de ESO que participan en el Proyecto ESTALMAT, presentan el octavo desafío de EL PAÍS con el que se celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del martes 10 de mayo (00.00 horas del miércoles).

Enunciado del problema: A cada uno de los vértices de un cubo le asignamos un 1, o un -1. Después asignamos a cada una de las caras el producto de los números de sus vértices.

¿Puede hacerse la asignación inicial de manera que la suma de los 14 números (8 de los vértices y 6 de las caras) sea 0? Encontrar tal asignación o demostrar que no existe. Como en el problema del reloj, se recomienda no probar con todos los casos posibles.

Recordemos el enunciado: partíamos de un piano gigantesco en el que tocábamos el primer Do, luego la siguiente nota (el Re), a continuación saltábamos una y tocábamos el Fa, luego saltábamos dos y tocábamos el Si, luego saltábamos tres… y así hasta pulsar 7.000 teclas. Se preguntaba: ¿Cuántas veces tocaremos el Do? y ¿Habrá alguna nota que no suene nunca en esta larguísima sinfónía?

La solución correcta es que el intérprete del piano gigantesco tocará en su concierto de 7.000 teclas la nota Do 2.000 veces y nunca pulsará el Mi, ni el Sol ni el La.

Mucha gente ha dado demostraciones, bien en lenguaje parecido al del profesor Garay (ver vídeo) observando que saltar 7, 14, 21… teclas no tiene ningún efecto sobre la nota tocada, bien usando el lenguaje formal de congruencias. En ocasiones, usando la fórmula 1+2+…+n=n(n+1)/2, han calculado con exactitud el lugar que ocupa cada tecla tocada, aunque esto no era necesario. Pero otros lectores han seguido caminos distintos (es posible que esto incluya a muchos de los que se han limitado a dar la respuesta). Continuar leyendo “Solución al problema del piano”