Autor: miguelolalla

José Garay, profesor de la Universidad de Zaragoza, presenta el séptimo desafío de EL PAÍS con el que se celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del lunes 2 de mayo (00.00 horas del martes).

Enunciado: (Pueden ver el vídeo del problema aquí) Sabemos que al pulsar las teclas blancas de un piano se reproducen periódicamente las siete notas de la escala musical Do, Re, Mi, Fa, Sol, La y Si. Por lo tanto aunque el piano tenga muchas teclas, solamente podemos escuchar las siete notas de la escala, eso sí, en diversas octavas. Los pianos reales tienen un número limitado de teclas, pero para nuestro problema vamos a imaginar un piano con un teclado tan largo como nos sea necesario. E imaginaremos que pulsamos SÓLO las teclas blancas.

Primero pulsamos el primer Do que tenemos por la izquierda. A continuación pulsamos la siguiente tecla, que naturalmente será un Re. Luego saltamos una tecla y tocamos el Fa. Ahora saltamos dos teclas y tocamos el Si. Seguidamente saltamos tres teclas y tocamos el Fa, ya en la segunda octava. Y continuamos el proceso saltando cada vez una tecla más que la vez anterior. Como hemos supuesto que nuestro piano tiene tantas teclas como queramos supongamos que hemos llegado a tocar 7.000 teclas. Y hacemos dos preguntas:

1. ¿Cuántas teclas habremos tocado que corresponden a la nota Do?

2. ¿Habrá alguna nota que no haya sido pulsada en ningún momento?

Aclaración: Por si acaso alguien se confunde y piensa que nuestro piano tiene solo 7.000 teclas, hemos de insistir en que 7.000 es el número de teclas que tocamos, y dado que entre dos teclas pulsadas hay muchas que no se tocan, se deduce que nuestro imaginario piano tiene muchas más que esas 7.000. Y aunque este número no es necesario para resolver el problema podemos afirmar que el piano debe tener unos 24 millones y medio de teclas blancas.

Vayamos con la solución al problema que nos planteaba Javier Lázaro, estudiante de 4º de matemáticas de la Universidad de Zaragoza (ver el planteamiento en este enlace y la solución en este otro). Recordemos el enunciado:

Se informa a 30 presos de que se les va a colocar formando una fila y se les va a poner un sombrero en la cabeza a cada uno, blanco o negro, sin especificar cuántos gorros se pondrán de cada color. Cada preso sólo verá los sombreros de los prisioneros que tiene delante pero no el suyo ni los de detrás. Un guardia irá preguntando sucesivamente a cada uno de los presos desde el último (el que ve todos pero no el suyo) al primero (que no ve ninguno) de qué color es su sombrero. Los presos sólo pueden contestar blanco o negro: si aciertan son liberados y si no, son ejecutados. Todos los presos pueden escuchar las respuestas anteriores a las suyas.

Antes de llevar esto a cabo, los presos, que conocen la prueba a la que van a ser sometidos pero no naturalmente de qué color serán sus sombreros, tienen un tiempo para hablar entre ellos y pensar una estrategia de grupo. No vale hacer inflexiones de voz, ni cambiar el tono o el volumen en la respuesta: deben responder sin más blanco o negro ¿Cuál es la mejor estrategia para salvar SEGURO al mayor número de prisioneros? ¿Cuántos se salvan seguro con esa estrategia?

Hay una estrategia para salvar seguro a 29 presos. El primer preso al que pregunten, el que ve todos los sombreros menos el suyo, debe contar cuantos sobreros blancos hay (también podría hacerse con los sombreros negros, es indiferente). Si hay un número par de sombreros blancos contestará blanco (sería como si contestase par). Y si hay un número impar de sombreros blancos contestaránegro (sería como si contestase impar). Como él ha contestado en función de los sombreros que ha visto sin poder ver el suyo y sin ninguna pista las probabilidades de que se salve son del 50%.

El siguiente preso al que le pregunten contará de nuevo el número de sombreros blancos. Si ve un número par de sombreros blancos y el anterior preso dijo blanco (par) quiere decir que su sombrero es negro así que diciendo negro se salvará; sin embargo si ve un número par y el anterior dijo negro (impar) entonces su sombrero es blanco, diciendo blanco se salvará. De igual forma debe actuar si al contar los sombreros que ve este segundo preso hay un número impar de sombreros blancos. En este caso deberá decir negro si el anterior dijo negro (impar) y deberá decir blanco si el anterior dijo blanco (par).

El resto de presos deberá actuar de forma equivalente, sabiendo gracias a la respuesta del primer preso si el número de sombreros blancos es par o impar y teniendo en cuenta el color de los sombreros de los presos que les preceden (que aunque no los vean lo saben porque oyen las respuestas siempre acertadas de los presos anteriores). De esta forma 29 presos se salvarán seguro y uno (el primero que habla) tiene un 50% de probabilidades de salvarse. Continuar leyendo “Sexto desafío: se salvan 29 presos”

Javier Lázaro, estudiante de 4º de Matemáticas en la Universidad de Zaragoza, presenta el sexto desafío de EL PAÍS con el que se celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del lunes (00.00 horas del martes).

Se informa a 30 presos de que se les va a colocar formando una fila y se les va a poner un sombrero en la cabeza a cada uno, blanco o negro, sin especificar cuántos gorros se pondrán de cada color (pueden ser 29 blancos y uno negro, 15 y 15, 17 y 13…). Cada preso sólo verá los sombreros de los prisioneros que tiene delante pero no el suyo ni los de detrás. Un guardia irá preguntando sucesivamente a cada uno de los presos desde el último (el que ve todos pero no el suyo) al primero (que no ve ninguno) de qué color es su sombrero. Los presos sólo pueden contestar blanco o negro: si aciertan son liberados y si no, son ejecutados. Todos los presos pueden escuchar las respuestas anteriores a las suyas.

Antes de llevar esto a cabo, los presos, que conocen la prueba a la que van a ser sometidos pero no naturalmente de qué color serán sus sombreros, tienen un tiempo para hablar entre ellos y pensar una estrategia de grupo. ¿Cuál es la mejor estrategia para salvar SEGURO al mayor número de prisioneros? ¿Cuántos se salvan seguro con esa estrategia?

Atención: Los prisioneros no pueden hacer señas, ni tocar a los otros, ni dar pistas con el tono o volumen de voz… deben contestar blanco o negro de la forma más aséptica posible porque si los carceleros detectaran algún truco de los mencionados, matarían a todos.

Solución al quinto desafío matemático de El País.

Recordemos que el juego consistía en buscar sendas estrategias ganadoras para dos juegos que arrancaban con 19 palillos sobre la mesa formando la palabra PAIS. En el primer juego, los contricantes deben retira sucesivamente uno, dos o tres palillos y gana quien vacía la mesa. En el segundo se pueden retirar tantos como se quieran pero siempre de la misma letra cada vez y gana también el que no deja ninguno a su rival.

Vamos con las soluciones. Estos dos juegos forman parte de una familia de juegos del tipo Nim en los que hay una serie de montones de objetos iguales (palillos, fichas) de lo que los que en cada jugada se pueden retirar algunos. De todos ellos existe un método para encontrar la estrategia ganadora que consiste escribir el número de objetos de cada montón en base 2 y sumar de forma independiente cada uno de los órdenes de potencias de dos que tenemos. Pero en nuestros dos juegos la estrategia ganadora puede encontrarse usando algunas de las estrategias globales de pensamiento, como veremos a continuación.

Tal y como cuenta Fernando Corbalán, catedrático de secundaria, y subdirector de DivulgaMAT en el vídeo de la derecha, la estrategia ganadora corresponde en ambos casos al jugador que abre el juego.

Juego 1. Se puede encontrar la solución empezando por el final. Si un jugador consigue dejar solo cuatro palillos al otro, habrá ganado: su rival tendrá que quitar uno, dos o tres, y le dejará siempre la opción de dejar la mesa en blanco. Para asegurar esa situación en la que se dejan cuatro palillos al adversario habrá que dejarle ocho en la jugada anterior, y 12 en la anterior y 16… esto eso, siempre un número de palillos que sea múltiplo de cuatro. Como en el inicio hay 19 palillos, un número que no es múltiplo de cuatro, la estrategia ganadora consiste en quitar tres -y por tanto dejar 16- y a partir de ahí quitar el complementario a cuatro de los que va quitando su contricante (si retira uno, tres; si retira dos, dos; y si retira tres, uno), con lo que el número de palillos sobre la mesa pasará a 12, 8, 4… y ganará.

Juego 2. La estrategia ganadora también la tiene el jugador que empieza pero la solución es otra: pasar a nuestro contrincante una situación simétrica de palillos y ante cada jugada suya, hacer también la simétrica. Así nos aseguramos de que si él tiene palillos para sacar, nosotros también tendremos y seremos nosotros quienes dejemos la mesa vacía. En el caso propuesto el primer jugador puede llegar a esa situación quitando un palillo de la A (o de la P o de la S), con lo que quedarán cuatro figuras formadas por 5 4 4 5 palillos sobre la mesa. A partir de ese momento, el jugador solo tiene que hacer lo que haga su rival.