Acabo de descubrir una página con una curiosa lista de impresionantes construcciones inspiradas por las matemáticas.
Se trata de una selección de trece construcciones. Además de ser muy interesante, en la lista se puede votar. Por ahora el primer lugar lo ocupa La Sagrada Familia y el decimotercero es el Atomium de Bruselas.
La lista se basa en esta otra, que sólo tenía diez construcciones.
Esta entrada está dedicada a nuestros alumnos de Álgebra Básica
En todas las áreas de la matemática hay problemas que se resisten a ser probados. Con frecuencia, las soluciones a estos problemas se obtienen mediante una brillante mezcla de resultados ya conocidos. Por este motivo es conveniente reformular problemas abiertos en enunciados equivalentes, de manera que se puedan dar nuevas perspectivas.
Por ejemplo, la irresuelta conjetura (fuerte) de Goldbach, que propone que todo número entero par mayor que \(2\) es suma de dos números primos, puede ser reformulada como una ecuación en la que aparece la función \(\phi\) o indicatriz de Euler.
Por definición, dos enteros \(m\) y \(n\) se dicen primos entre sí o coprimos si su máximo común divisor es igual a \(1\), \(\mbox{mcd} (m,n)=1\). Por ejemplo, \(4\) y \(7\) son primos entre sí.
La función \(\phi\) de Euler asigna a cada número entero positivo \(n\) la cantidad total de números enteros positivos menores que \(n\) que son primos con \(n\). Por ejemplo, los números \(1\), \(5\),\(7\) y \(11\) son todos primos con \(12\), mientras que \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(8\), \(9\) y \(10\) no. Luego \(\phi (12)=4\).
Si \(p\) es un número primo, todo número \(k\) menor que \(p\) es primo con \(p\), es decir,
\(\mbox{mcd}(p,k)=1\ \ \forall\ 0<k<p\).
Luego si \(p\) es primo entonces \(\phi (p)=p-1\).
Sabiendo esto, un enunciado equivalente de la conjetura de Goldbach es el siguiente: para todo número entero \(n\geq 1\) existen dos números primos \(p\) y \(q\) tales que
\(\phi (p) + \phi (q)=2n\).
Los matemáticos Paul Erdös y Leo Moser se preguntaron posteriormente si existen o no tales números \(p\) y \(q\) no necesariamente primo que verifican este enunciado.
De esta forma, el nuevo enunciado y las preguntas de Erdos y Moser llevan a un problema sobre la función \(\phi\) de Euler que, si no se demuestra por otra vía, será resuelto positivamente cuando se haya obtenido una prueba de la conjetura de Goldbach.
Este artículo es una traducción libre de la entrada The Strong Goldbach Conjecture: An Equivalent Statement del blog AMS Graduate Student Blog By and For Math Grad Students
“Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty — a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show. The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than Man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as poetry.” Bertrand Russell.
“La matemática posee no sólo verdad, sino también belleza suprema; una belleza fría y austera, como aquella de la escultura, sin apelación a ninguna parte de nuestra naturaleza débil, sin los adornos magníficos de la pintura o la música, pero sublime y pura, y capaz de una perfección severa como sólo las mejores artes pueden presentar. El verdadero espíritu del deleite, de exaltación, el sentido de ser más grande que el hombre, que es el criterio con el cual se mide la más alta excelencia, puede ser encontrado en la matemática tan seguramente como en la poesía.” Bertrand Russell.
Hemos encontrado por la Red un par de números primos raros. No hemos comprobado que son primos, aunque han pasado algún test de primalidad.
1010202030304040505060601010101010101010101010101010101010101010101010101.
10002000300040005000600070008000900000001.
El título del libro de Hilbert y Cohn-Vossen se puede aplicar a esta escultura dinámica del aeropuerto de Singapur.
Pueden ver aquí una versión más larga y aquí cómo se hizo.
