Categoría: Aprenda Inglés con…
La belleza de las Matemáticas
“Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty — a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show. The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than Man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as poetry.” Bertrand Russell.
“La matemática posee no sólo verdad, sino también belleza suprema; una belleza fría y austera, como aquella de la escultura, sin apelación a ninguna parte de nuestra naturaleza débil, sin los adornos magníficos de la pintura o la música, pero sublime y pura, y capaz de una perfección severa como sólo las mejores artes pueden presentar. El verdadero espíritu del deleite, de exaltación, el sentido de ser más grande que el hombre, que es el criterio con el cual se mide la más alta excelencia, puede ser encontrado en la matemática tan seguramente como en la poesía.” Bertrand Russell.
Triángulos rectángulos racionales
Teorema: El área de un triángulo rectángulo de lados racionales no puede ser un número racional al cuadrado.
Sean \(a\) y \(b\), los catetos, y \(c\), la hipotenusa, de un triángulo rectángulo racional. Sabemos que el área del triángulo es \(ab/2\). Si este área es un número racional, pongamos \(r\), al cuadrado, tenemos la ecuación
\(\displaystyle \frac{ab}{2}=r^2\).
Dividiendo todos los lados por \(r\) obtendríamos un triángulo rectángulo de lados racionales \(a’=a/r\), \(b’=b/r\) y \(c’=c/r\), cuya área es
\(\displaystyle \frac{a’b’}{2}=1\).
Luego es suficiente demostrar el
Lema: El área de un triángulo rectángulo de lados racionales no puede ser uno.
Sean entonces \(a\) y \(b\), los catetos, y \(c\), la hipotenusa, de un triángulo rectángulo racional de área
\(\displaystyle \frac{ab}{2}=1\).
Si partimos de la ecuación
\((a^2-b^2)^2=(a^2+b^2)^2-4a^2b^2\)
y sustituimos \(ab=2\) y, aplicando el teorema de Pitágoras, \(c^2=a^2+b^2\), obtenemos
\((a^2-b^2)^2=c^4-16.\)
Pero hay un teorema de Fermat (ver aquí el teorema 3.10 y el corolario 3.14) que dice que la diferencia de dos potencias cuartas no puede ser un cuadrado.
Así que el área de los triángulos rectángulos racionales no puede ser \(1\) ni, en consecuencia, un número racional al cuadrado.
Profundizando un poco en este resultado, Euler llamó congruentes a los números racionales que son el área de algún triángulo rectángulo racional. El problema de determinar si un número es congruente está abierto, aunque hay un algoritmo de Jerrold Tunnell basado en que la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer sea correcta.
Si alguien está interesado en una generalización a triángulos racionales (no necesariamente rectángulos) puede leer este artículo.
Esta entrada es una traducción libre de ésta que apareció en el blog The Endeavour de John D. Cook.
Matemáticas y la capa de invisibilidad
Recientemente el matemático Gunther Uhlmann ha dado una conferencia en The Banff International Research Station sobre la capa de invisibilidad de Harry Potter. ¿A quién no le gustaría ser invisible al menos por un día?
Quien quiera saber algo sobre sus trabajos acerca de problemas inversos e invisibilidad puede visitar la página Harry Potter’s Cloak.
Además, como regalo a aquellos que prefieren el español al inglés, les dejo el vídeo de una conferencia impartida por el profesor Gunther Uhlmann en la Universidad de Chile.
¿Cual es el siguiente número de la serie…
Pintura de Max Slevogt
640, 231, 100, 91… ?
Ayuda: Si te gusta la ópera quizás conozcas la respuesta. Si te gusta Don Giovanni entonces la tienes que saber …
En cualquier caso, te invitamos a conocer la respuesta leyendo el artículo How composers from Mozart to Bach made their music add up que Marcus du Satoy publicó en The Guardian.