Categoría: Retos

Ya hay solución para el duodécimo desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Josefa Ramírez Rodríguez, licenciada en matemáticas por la Universidad de Extremadura y responsable de Sistema de Información en el RACC planteó el problema (ver vídeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (ver el vídeo en El País): en la exhibición de coches participarán 400 vehículos, que en principio formaban un cuadrado de 20×20 y que terminarán formando un rectángulo de 25×16 automóviles. La solución es única, tal y como cuenta Josefa en el vídeo de la derecha y como demostraremos a continuación.

Vamos a suponer que n es el número de vehículos en cada lado del cuadrado incial, n+5 el número de vehículos en uno de los lados del rectángulo final y k el número de vehículos en el otro lado del rectángulo.

Si n^2 = (n+5) k, entonces n+5 divide a n^2 pero como claramente n+5 divide a (n+5)(n-5) = n^2 -25, necesariamente n+5 ha de dividir a 25 = n^2 -(n+5)(n-5) y, como los únicos divisores de 25 son 1, 5 y 25, se deduce que necesariamente n+5 = 25 y, por tanto, n = 20. Es decir, podemos afirmar con total seguridad que participarán 400 coches. Es más, se puede ver que n+5 divide a n^2 si y sólo si n+5 divide a 25.

Esta demostración tan sencilla, nos indica que si, en lugar de 5, hubiéramos pedido que se aumentara en un número primo p de filas, la respuesta hubiera sido que sí se puede decir con total seguridad que participarían (p^2 -p)^2 coches, mientras que si hubiéramos dicho que se aumentara en un número K que no es primo la respuesta hubiera sido que no se podía decir con total seguridad, pues el número de posibilidades que tendríamos serían el número de divisores de K^2 mayores estrictamente que K, ya que bastaría con que n+K fuera divisor de K^2 y el número de éstos es mayor que 1.

Hemos querido, no obstante, dar una demostración (larga) que pensamos podían intentar nuestros lectores y que daba la clave sobre qué es lo que tenían que probar. También podríamos haber optado por realizar la división n^2 /(n+5) y habríamos obtenido k = n^2 /(n+5) = n-5 + 25/(n+5) de donde claramente se obtiene que n+5 ha de dividir a 25.

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Josefa Ramírez Rodríguez, licenciada en matemáticas por la Universidad de Extremadura y Responsable de Sistema de Información en el RACC presenta el duodécimo desafío de EL PAÍS con el que celebramos el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del lunes 6 de junio (00.00 horas del martes).

Enunciado: Se quiere organizar una exhibición de coches de carreras de manera que al comienzo los vehículos formen un cuadrado (de n filas de coches de n coches cada una) y al final los mismos automóviles formen un rectángulo en el que el numero de filas inicial aumente en 5. ¿Puede saberse con total seguridad cuantos coches participarían en esa exhibición? En caso afirmativo, dar el número (justificando la respuesta) y en caso negativo explicar por qué no puede saberse.

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Ya hay solución para el undécimo desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Varios niños del IES Alameda de Osuna de Madrid propusieron el problema y lo resuelven ahora: es posible hacerlo en una sola pesada eligiendo bien el número de tornillos que se extraen de cada caja (de hecho hay cuatro soluciones posibles).

Recordemos el enunciado del problema: Tenemos seis cajas con 13 tornillos cada una. En tres cajas los tornillos pesan seis gramos cada uno y en las otras tres los tornillos pesan cinco gramos cada uno (todos los tornillos de cada caja pesan lo mismo), pero las cajas tienen todas el mismo aspecto. Tenemos también una báscula de precisión a nuestra disposición (no una balanza) donde podemos pesar los tornillos que queramos. ¿Cuál es el mínimo número de veces que necesitamos utilizar la báscula para saber qué cajas contienen los tornillos de cinco gramos y de qué manera se haría?

La solución es que puede conseguirse con una solo pesada. En ella incluiremos un número diferente de tornillos de cada caja (entre el 0 y el 13). Si el total de tornillos que pesamos es N, el peso será 5xN más el número de tornillos que hayamos usado de las 3 cajas con tornillos de 6 gramos.

Probemos primero con un tornillo de la primera, dos de la segunda, tres de la tercera… En total tendremos 21 tornillos en la báscula y, por tanto marcará 21 X 5 = 105 gr mas un gramo por cada tornillo de las cajas de 6 gramos que hayamos puesto. Si la báscula marcara 112 gr sabríamos que hay 7 tornillos de 6 gramos y, como 7 = 1 + 2 +4, los tornillos de 6 gramos estarían en las cajas a, b y d. Lo malo es que si la báscula marca, por ejemplo, 114 gr sabríamos que hay 9 tornillos de 6 gramos pero como 9 se puede escribir de muchas formas distintas como suma de tres de esos números (9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 2 +3 + 4) no podemos saber de qué cajas los he cogido.

Así que, para evitar confusiones, tenemos que conseguir 6 números entre 0 y 13 de manera tal que las sumas de tres de ellos sean siempre números distintos. Para ello se debe cumplir además que la suma de dos de ellos sean distintas (si por ejemplo en mi lista esta tengo 1, 2, 3, 4 y dos números más , como 1 + 4 = 2 + 3 usando otro de los números tendré dos ternas -grupos de tres- que suman lo mismo).

El desafío, tal y como está planteado, admite cuatro posibles soluciones: 0, 1, 2, 4, 7, 13 y su complementaria (restando de 13) 0, 6, 9, 11, 12, 13, que son las dos que aparecen en el vídeo, y también 0, 1, 2, 7, 10, 13 y su complementaria 0, 3, 6, 11, 12, 13. La primera, la que encuentran nuestros jóvenes presentadores, es la que requiere pesar menos tornillos. Decimos que hay sólo cuatro soluciones porque no importa de qué caja se tome cada número de tornillos. Si queremos tomar en consideración las 720 maneras en que podemos ordenar las cajas las soluciones serían 2880.

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Belén Alcázar, Dana Calderón, Daniel de Maeseneire, Irene Carmona, Javier Quirós, Jimena González y Patricia Novo, alumnos de 1º ESO del IES Alameda de Osuna (Madrid), presentan el undécimo desafío de EL PAÍS con el que se celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del lunes 30 de mayo (00.00 horas del martes).

Enunciado: Tenemos seis cajas con 13 tornillos cada una. En tres cajas los tornillos pesan seis gramos cada uno y en las otras tres los tornillos pesan cinco gramos cada uno (todos los tornillos de cada caja pesan lo mismo), pero las cajas tienen todas el mismo aspecto. Tenemos también una báscula de precisión a nuestra disposición (no una balanza) donde podemos pesar los tornillos que queramos. ¿Cuál es el mínimo número de veces que necesitamos utilizar la báscula para saber qué cajas contienen los tornillos de cinco gramos y de qué manera se haría?

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Pueden leer el texto con la solución en El País.