1 Introducción
En las competiciones deportivas no es raro encontrar equipos modestos que plantan cara a otros de mayor presupuesto y potencial, y a veces obtienen la victoria. Sin embargo, en la jornada siguiente pierden con otro de igual o inferior categoría. En la liga de fútbol se asignan tres puntos por victoria, de forma independiente a quien se le haya ganado, un punto por empate, y cero puntos si se pierde. En caso de igualdad de puntos, el mejor es el que tenga la mayor diferencia de goles. La cuestión que planteamos es si existe alguna forma de premiar la victoria contra un equipo fuerte, y que no sean solamente tres puntos.
La clasificación final de la liga española en la temporada 2010/2011 aparece en la tabla siguiente.
|
Equipo |
J |
G |
E |
P |
GF |
GC |
Dif |
Puntos |
|
1. FC Barcelona |
38 |
30 |
6 |
2 |
95 |
21 |
+74 |
96 |
|
2. Real Madrid CF |
38 |
29 |
5 |
4 |
102 |
33 |
+69 |
92 |
|
3. Valencia CF |
38 |
21 |
8 |
9 |
64 |
44 |
+20 |
71 |
|
4. Villarreal CF |
38 |
18 |
8 |
12 |
54 |
44 |
+10 |
62 |
|
5. Sevilla FC |
38 |
17 |
7 |
14 |
62 |
61 |
+1 |
58 |
|
6. Athletic Club |
38 |
18 |
4 |
16 |
59 |
55 |
+4 |
58 |
|
7. Atlético de Madrid |
38 |
17 |
7 |
14 |
62 |
53 |
+9 |
58 |
|
8. RCD Espanyol |
38 |
15 |
4 |
19 |
46 |
55 |
-9 |
49 |
|
9. CA Osasuna |
38 |
13 |
8 |
17 |
45 |
46 |
-1 |
47 |
|
10. Sporting de Gijón |
38 |
11 |
14 |
13 |
35 |
42 |
-7 |
47 |
|
11. Málaga CF |
38 |
13 |
7 |
18 |
54 |
68 |
-14 |
46 |
|
12. Racing de Santander |
38 |
12 |
10 |
16 |
41 |
56 |
-15 |
46 |
|
13. Real Zaragoza |
38 |
12 |
9 |
17 |
40 |
53 |
-13 |
45 |
|
14. Levante UD |
38 |
12 |
9 |
17 |
41 |
52 |
-11 |
45 |
|
15. Real Sociedad |
38 |
14 |
3 |
21 |
49 |
66 |
-17 |
45 |
|
16. Getafe CF |
38 |
12 |
8 |
18 |
49 |
60 |
-11 |
44 |
|
17. RCD Mallorca |
38 |
12 |
8 |
18 |
41 |
56 |
-15 |
44 |
|
18. Deportivo de La Coruña |
38 |
10 |
13 |
15 |
31 |
47 |
-16 |
43 |
|
19. Hércules CF |
38 |
9 |
8 |
21 |
36 |
60 |
-24 |
35 |
|
20. UD Almería |
38 |
6 |
12 |
20 |
36 |
70 |
-34 |
30 |
Tabla 1: Clasificación de la liga española 2010/2011
En los últimos años, la liga española no tiene mucha emoción en los puestos de cabeza, pero crea una gran incertidumbre en los puestos de descenso, donde la diferencia de puntos no es tan grande. Por ejemplo, en la clasificación anterior, la diferencia de puntos entre el noveno clasificado y el decimoctavo es de cuatro puntos solamente. Hemos escogido esta temporada para mostrar un criterio alternativo de clasificación donde se tenga en cuenta la obtención de puntos contra equipos fuertes, a pesar de que el Real Betis no jugaba, lo que resta valor a la calidad del campeonato.
2 Sistema de clasificación
Expliquemos un nuevo procedimiento de clasificación, cuyo objetivo es premiar a aquellos equipos que logran buenos resultados contra equipos fuertes. Ordenamos los equipos por orden alfabético:
1 = Almería, 2 = Athletic Club, 3 = Atlético de Madrid, 4 = Barcelona, 5 = Deportivo,
6 = Espanyol, 7 = Getafe, 8 = Hércules, 9 = Levante, 10 = Málaga, 11 = Mallorca,
12 = Osasuna, 13 = Racing, 14 = Real Madrid, 15 = Real Sociedad, 16 = Sevilla,
17 = Sporting, 18 = Valencia, 19 = Villarreal, 20 = Zaragoza.
Asignamos así un código a cada uno de ellos. Formamos la matriz \(A = (a_{ij})_{i,j=1,\ldots 20}\), donde \(a_{ij}\) es el número de puntos que el equipo \(i\) ha obtenido contra el equipo \(j\) en los dos enfrentamientos de ida y vuelta. Evidentemente, \(a_{ii}= 0\) para todo \(i=1,\ldots , 20\).
Por ejemplo, el valor de \(a_{1,5}\) es el resultado de los enfrentamientos entre Almería y Deportivo. En el partido de ida el resultado fue Almería 1 – Deportivo 1, y en el de vuelta Deportivo 0 – Almería 2. Por tanto, \(a_{1,5} = 1+3\) y \(a_{5,1} = 1+0\). La temporada 2010/2011 produjo la siguiente matriz:
\( A=\left(
\begin{array}{cccccccccccccccccccc}
0 & 0 & 2 & 0 & 4 & 3 & 0 & 4 & 0 & 1 & 3 & 4 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
6 & 0 & 3 & 0 & 0 & 3 & 4 & 6 & 6 & 2 & 3 & 6 & 6 & 0 & 3 & 3 & 4 & 0 & 0 & 3 \\
2 & 3 & 0 & 0 & 6 & 1 & 4 & 3 & 3 & 3 & 6 & 6 & 1 & 0 & 6 & 1 & 3 & 1 & 3 & 6 \\
6 & 6 & 6 & 0 & 4 & 6 & 6 & 3 & 4 & 6 & 4 & 6 & 6 & 4 & 3 & 4 & 4 & 6 & 6 & 6 \\
1 & 6 & 0 & 1 & 0 & 3 & 1 & 3 & 3 & 4 & 4 & 2 & 3 & 1 & 3 & 2 & 2 & 0 & 3 & 1 \\
3 & 3 & 4 & 0 & 3 & 0 & 6 & 4 & 3 & 3 & 3 & 3 & 1 & 0 & 3 & 3 & 3 & 1 & 0 & 3 \\
6 & 1 & 1 & 0 & 4 & 0 & 0 & 4 & 3 & 1 & 3 & 4 & 3 & 0 & 1 & 6 & 3 & 0 & 3 & 1 \\
1 & 0 & 3 & 3 & 3 & 1 & 1 & 0 & 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 6 & 3 & 1 & 0 & 1 & 4 \\
6 & 0 & 3 & 1 & 3 & 3 & 3 & 3 & 0 & 3 & 1 & 4 & 4 & 1 & 4 & 0 & 2 & 1 & 3 & 0 \\
4 & 2 & 3 & 0 & 1 & 3 & 4 & 3 & 3 & 0 & 3 & 0 & 6 & 0 & 3 & 1 & 6 & 0 & 1 & 3 \\
3 & 3 & 0 & 1 & 1 & 3 & 3 & 4 & 4 & 3 & 0 & 4 & 0 & 1 & 3 & 4 & 0 & 3 & 1 & 3 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 1 & 6 & 1 & 6 & 1 & 0 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 3 & 4 \\
4 & 0 & 4 & 0 & 3 & 4 & 3 & 4 & 1 & 0 & 6 & 3 & 0 & 0 & 3 & 4 & 1 & 1 & 1 & 4 \\
4 & 6 & 6 & 1 & 4 & 6 & 6 & 6 & 4 & 6 & 4 & 3 & 6 & 0 & 6 & 6 & 3 & 6 & 6 & 3 \\
4 & 3 & 0 & 3 & 3 & 3 & 4 & 0 & 1 & 3 & 3 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 3 & 3 \\
3 & 3 & 4 & 1 & 2 & 3 & 0 & 3 & 6 & 4 & 1 & 3 & 1 & 0 & 6 & 0 & 3 & 6 & 3 & 6 \\
4 & 1 & 3 & 1 & 2 & 3 & 3 & 4 & 2 & 0 & 6 & 3 & 4 & 3 & 0 & 3 & 0 & 1 & 2 & 2 \\
6 & 6 & 4 & 0 & 6 & 4 & 6 & 6 & 4 & 6 & 3 & 1 & 4 & 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 4 & 1 \\
4 & 6 & 3 & 0 & 3 & 6 & 3 & 4 & 3 & 4 & 4 & 3 & 4 & 0 & 3 & 3 & 2 & 1 & 0 & 6 \\
4 & 3 & 0 & 0 & 4 & 3 & 4 & 1 & 6 & 3 & 3 & 1 & 1 & 3 & 3 & 0 & 2 & 4 & 0 & 0
\end{array}
\right)\)
Vamos a asignar a cada equipo un número \(x_i,\ i=1,2,\ldots ,20\) que mida su fortaleza. Cada fila \(i\) de la matriz \(A\) contiene el comportamiento del equipo \(i\) durante el campeonato. Por ejemplo, la suma de los valores de cada fila nos proporciona su puntuación final. Si para ciertos equipos \(j\) y \(k\) se tiene que \(x_j > x_k\), entonces diremos que el equipo \(j\) es más fuerte que el \(k\). Si \(a_{ij}=a_{ik}\), es decir, el equipo \(i\) ha obtenido los mismos puntos tras enfrentarse a los equipos \(j\) y \(k\), la aportación \(a_{ij}x_j\) será mayor que \(a_{ik}x_k\), lo que traduce el valor añadido que queríamos dar a los puntos obtenidos contra un rival más fuerte. Por ejemplo, Osasuna obtuvo en total 3 puntos en sus enfrentamientos contra Español y Real Madrid (entradas \(a_{12,6}= a_{12,14}= 3\)), y queremos valorar más los obtenidos contra Real Madrid. Una forma de agrupar todas las aportaciones es sumando, y esa suma queremos que sea proporcional a la fortaleza del equipo. Entonces, para una cierta constante de proporcionalidad \(\lambda\), llegamos a las siguientes igualdades:
\(\displaystyle\sum_{j=1}^{20} a_{ij}x_{j}=\lambda x_i\), para cada \(i=1,2,\ldots , 20\).
Si algún lector conoce el producto de matrices, las expresiones anteriores se pueden escribir de una forma más compacta como
\(Ax=\lambda x\). donde \(x=\left(\begin{array}{c} x_1\\x_2\\ \vdots\\ x_{20}\end{array}\right)\)
Y si ha llegado hasta aquí y ha pasado por un curso de álgebra lineal, la ecuación anterior traerá sus recuerdos sobre autovalores y autovectores. En concreto, \(x\) es un autovector asociado al autovalor \(\lambda\) de la matriz \(A\). Pues a calcular y a ver qué pasa.
¡Un momento! Aquí hay algunos detalles a tener en cuenta. Lo primero, el autovalor que buscamos debe ser positivo, y tener un autovector asociado con todas sus componentes positivas. ¿Quién nos asegura que lo vamos a encontrar? Si quiere saber por qué, lea la siguiente sección, y si se conforma con su existencia, puede saltar a la siguiente.
3 Teorema de Perron-Frobenius
Llamamos radio espectral de una matriz al máximo de los módulos de sus autovalores. Está claro que las entradas de la matriz \(A\) son no negativas. Pues el teorema de Perron-Frobenius nos dice que su radio espectral \(\rho (A)\) es ya un autovalor de \(A\). Por tanto, hemos conseguido un autovalor \(\lambda=\rho (A)\) no negativo. Un simple cálculo nos permite comprobar que \(A^2\) tiene todas sus entradas positivas. Desde el punto de vista técnico esto quiere decir que \(A\) es irreducible y primitiva. De nuevo, el teorema de Perron-Frobenius afirma que \(\lambda\) es mayor que cero, que los demás autovalores de \(A\) son estrictamente menores que \(\lambda\), que este autovalor tiene multiplicidad algebraica igual a 1, y existe un autovector asociado \(v\) con todas sus componentes positivas. En otras palabras, lo que estábamos buscando.
4 Nueva clasificación
Con la ayuda de nuestro programa favorito para calcular autovalores y autovectores, obtenemos \(\lambda = 48.2925\), y el autovector asociado
\(v\) = ( 0.123113, 0.216073, 0.22506, 0.402873, 0.178733, 0.189682, 0.170143, 0.151914, 0.178335, 0.174389, 0.182541, 0.199099, 0.178927, 0.37778, 0.18599, 0.239823, 0.198116, 0.268654, 0.239892, 0.185083, )
La entrada \(x_1\) es la fortaleza del Almería, y la entrada \(x_4\) es la fortaleza del Barcelona. Ordenamos los valores de las entradas \(x_i\) en el vector \(x\) de mayor a menor, y la comparamos con la clasificación por puntos, tal como aparece en la tabla.
|
Perron-Frobenius |
Puntos |
|
1. Barcelona |
Barcelona |
|
2. Real Madrid |
Real Madrid |
|
3. Valencia |
Valencia |
|
4. Villarreal |
Villarreal |
|
5. Sevilla |
Sevilla |
|
6. Atl. Madrid |
Athl. Club |
|
7. Athl. Club |
Atl. Madrid |
|
8. Osasuna |
Español |
|
9. Sporting |
Osasuna |
|
10. Español |
Sporting |
|
11. R. Soc. |
Málaga |
|
12. Zaragoza |
Racing |
|
13. Mallorca |
Zaragoza |
|
14. Racing |
Levante |
|
15. Depor. |
R. Soc. |
|
16. Levante |
Getafe |
|
17. Málaga |
Mallorca |
|
18. Getafe |
Depor. |
|
19. Hércules |
Hércules |
|
20. Almería |
Almería |
Tabla 2: Comparativa de las clasificaciones
¿Qué ha cambiado con respecto al sistema tradicional de clasificación de la liga? En los primeros lugares, que juegan competiciones internacionales, no hay cambios, salvo la permuta del Atlético de Madrid y el Athletic Club, donde había igualdad de puntos. Al final de la tabla la cosa es diferente. El Deportivo se libra del descenso a segunda división. En su lugar va el Getafe. En la mitad de la tabla hay algunas variaciones. En particular, hay un gran salto del Málaga desde el puesto 11 en la clasificación por puntos al 17 por la ordenación del vector v. Esto procede del hecho de que el equipo no ha obtenido buenos resultados contra equipos fuertes. Como es lógico, donde hay cambios es en la zona de la tabla donde hay gran igualdad de puntos.
5 Conclusiones
Lo anterior no es una propuesta de cambio del sistema de clasificación de la liga de fútbol, pues es claramente más complicado que el método tradicional. Y tampoco mi imaginación llega a pensar en un periodista deportivo hablando de autovectores. Lo que se pretende es mostrar un ejemplo de cómo se puede modelizar el concepto de fortaleza de un objeto con respecto a otros, y establecer una ordenación por ese criterio.
La pregunta inmediata es si esto se aplica en alguna parte. Comentemos de pasada que lo anterior es una versión ligeramente simplificada del algoritmo de PageRank usado por Google para ordenar las páginas web que verifican una consulta, o un sistema para clasificar revistas según su importancia, o el estudio de nodos influyentes en redes sociales. En el caso de Google hay que hacer modificaciones en la matriz para conseguir que sea irreducible (páginas web que no apuntan a ningún otro sitio) y primitiva (no existen estados periódicos asociados a autovalores complejos de módulo igual al radio espectral), y son necesarias herramientas de cálculo especiales para conseguir el autovector.
Pero esa es ya otra historia.