La dimensión de los reales como espacio vectorial racional es infinita

Atendiendo a la cardinalidad de los conjuntos no es difícil demostrar que el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre el cuerpo \(\mathbb{Q}\) de los números racionales. Pues todo espacio vectorial de dimensión finita sobre \(\mathbb{Q}\) debe ser numerable y \(\mathbb{R}\) no es un conjunto numerable.

La idea de esta entrada es dar una demostración directa, construyendo un conjunto infinito de números reales que sea linealmente independiente sobre \(\mathbb{Q}\). La siguiente demostración la hemos visto en el blog blocdemat en este artículo.

Sea \(A=\{\log (p)\mid p\mbox{ primo}\}\subset\mathbb{R}\). El conjunto \(A\) es infinito porque lo es el conjunto de los números primos y logaritmo es una función inyectiva.

Veamos que es linealmente independiente. Sean \(p_1,\ldots ,p_n\) primos distintos. Supongamos que existe una combinación lineal

\(c_1\log (p_1)+\cdots +c_n\log (p_n)=0\mbox{ con }c_i\in\mathbb{Q}.\)

Podemos suponer que los coeficientes \(c_i\) son enteros multiplicando por el mínimo común denominador.

La expresión anterior, usando las propiedades de los logaritmos, es

\(\log (p_1^{c_1}\cdots p_n^{c_n})=0.\)

De donde

\(p_1^{c_1}\cdots p_n^{c_n}=1.\)

Los enteros \(c_i\) pueden positivos, negativos o nulos. Pasando los \(p_i^{c_i}\) con \(c_i\) negativo al otro miembro, tenemos un mismo número natural escrito de dos formas distintas como producto de números primos. Por la unicidad de la factorización en primos, los exponentes deben ser todos nulos, es decir, \(c_1=\cdots =c_n=0\).

Luego el conjunto \(A\) es linealmente independiente.

Aprenda un poco de inglés con… Gian-Carlo Rota (5/11)

(Sigue de las entradas Aprenda un poco de inglés con… Gian-Carlo Rota (1/11), (2/11), (3/11) y (4/11))

4 You are more likely to be remembered by your expository work

Let us look at two examples, beginning with Hilbert. When we think of Hilbert, we think of a few of his great theorems, like his basis theorem. But Hilbert’s name is more often remembered for his work in number theory, his Zahlbericht, his book Foundations of Geometry and for his text on integral equations. The term “Hilbertspace” was introduced by Stone and von Neumann in recognition of Hilbert’s textbook on integral equations, in which the word “spectrum” was first defined at least twenty years before the discovery of quantum mechanics. Hilbert’s textbook on integral equations is in large part expository, leaning on the work of Hellinger and several other mathematicians whose names are now forgotten.

Similarly, Hilbert’s Foundations of Geometry, the book that made Hilbert’s name a household word among mathematicians, contains little original work, and reaps the harvest of the work of several geometers, such as Kohn, Schur (not the Schur you have heard of), Wiener (another Wiener), Pasch, Pieri and several other Italians.

Again, Hilbert’s Zahlbericht, a fundamental contribution that revolutionized the field of number theory, was originally a survey that Hilbert was commissioned to write for publication in the Bulletin ofthe German Mathematical Society.

William Feller is another example. Feller is remembered as the author of the most successful treatise on probability ever written. Few probabilists of our day are able to cite more than a couple of Feller’s research papers; most mathematicians are not even aware that Feller had a previous life in convex geometry.

Allow me to digress with a personal reminiscence. I sometimes publish in a branch of philosophy called phenomenology. After publishing my first paper in this subject, I felt deeply hurt when, at a meeting of the Society for Phenomenology and Existential Philosophy, I was rudely told in no uncertain terms that everything I wrote in my paper was well known. This scenario occurred more than once, and I was eventually forced to reconsider my publishing standards in phenomenology.

It so happens that the fundamental treatises of phenomenology are written in thick, heavy philosophical German. Tradition demands that no examples ever be given of what one is talking about. One day I decided, not without serious misgivings, to publish a paper that was essentially an updating of some paragraphs from a book by Edmund Husserl, with a few examples added. While I was waiting for the worst at the next meeting of the Society for Phenomenology and Existential Philosophy, a prominent phenomenologist rushed towards me with a smile on his face. He was full of praise for my paper, and he strongly encouraged me to further develop the novel and original ideas presented in it.

Álgebra: Un gran avance en ancho de banda

David Talbot 
MIT Technology Review
Un toque de álgebra en las redes inalámbricas promete multiplicar el ancho de banda por diez, sin necesidad de añadir nuevas infraestructuras.
 

Un equipo de investigadores ha conseguido mejorar considerablemente el ancho de banda inalámbrico, y no lo ha hecho añadiendo estaciones, ni ocupando una porción mayor del espectro, ni aumentando los vatios del transmisor, sino usando álgebra para eliminar la tarea de reenviar paquetes perdidos de datos, una labor que suele atascar la red.

Al proporcionar a los aparatos móviles nuevas formas de enfrentarse a la falta de datos, la tecnología no solo elimina un proceso ineficaz, sino que también es capaz de combinar impecablemente flujos de datos que provienen de redes wifi y LTE, un salto adelante respecto a otros métodos que pasan de una a otra. “Cualquier red IP se beneficiará de esta tecnología”, afirma Sheau Ng, vicepresidente de investigación y desarrollo de NBC Universal. Continuar leyendo “Álgebra: Un gran avance en ancho de banda”

Son las matemáticas, estúpido

Luis Garicano
El País

Las elecciones americanas han tenido un ganador inesperado: los modelos estadísticos. Ya en las elecciones de 2008, un bloguero llamado Nate Silver consiguió una leal audiencia desde su blog a base de predicar el evangelio del rigor, la calma y el análisis de los pronósticos electorales por encima de las opiniones basadas en la “intuición” y el “instinto”. Llegado el momento de la elección, su modelo estadístico, que combinaba todos los datos de encuestas existentes para producir un resultado electoral Estado a Estado, consiguió un éxito enorme al predecir los resultados en todos los Estados menos uno. Tras este éxito, el New York Timesle compró el blog y lo instaló en su primera página en Internet durante esta campaña de 2012.

El análisis que ha llevado a cabo Nate Silver en este ciclo ha sido espectacular por lo razonable, valiente, y al final, correcto. Desde hace muchos meses predecía su modelo estadístico una clara, aunque ajustada, victoria de Obama en el Colegio Electoral. Su argumento básico era que lo importante no era la intención de voto nacional (empatada prácticamente), sino la de los Estados, ya que son estos los que participaban en el Colegio Electoral; que había muchas encuestas estatales en los Estados clave (Ohio, sobre todo); y que todas casi sin excepción predecían victorias ajustadas de Obama. Cada encuesta daba una victoria dentro del margen de error, pero cuando se combinaban todas correctamente y se computaba su impacto en el colegio electoral, se llegaba a una predicción con un alto grado de confianza.

Enfurecida, y convencida de que estas elecciones las tenía ganadas, el ala más dura del partido republicano emprendió un durísimo ataque contra Silver, acusándole de ser un manipulador, ocultar los datos, no entender las encuestas, tener una fórmula compleja, tener una fórmula trivialmente sencilla, etcétera. Apoyando estos ataques se encontraban muchos “opinadores profesionales” de izquierda y derecha, acostumbrados a interpretar tendencias desde su sillón, y que veían en peligro su posición ante los avances de este amateur (y muchos otros que seguían tras sus pasos).

Nate Silver respondió siempre a estos ataques con calma, explicando las matemáticas en los términos más sencillos, aclarando lo que sus datos querían y no querían decir e insistiendo en que no era la carrera justita y ajustada hasta el final que los vendedores de periódicos y los republicanos “duros” querían ver, sino que caminábamos hacia una victoria clara de Obama. Sus discusiones entraban en detalle en asuntos como la correlación entre los movimientos de los distintos Estados, la predictibilidad de la participación, la fiabilidad de diferentes tipos de encuesta. Sus enemigos demostraban continuamente su completa ignorancia de los conceptos estadísticos más básicos, en particular la diferencia entre el tamaño del margen de victoria (un par de puntos) y el que este margen sea o no estadísticamente significativo.

El resultado electoral supuso una victoria para Silver aún mayor que la de 2008. No solo acertó el ganador y su margen, sino también el resultado en todos y cada uno de los Estados. Y siempre, eso sí, insistiendo con humildad en que no tenía ningún mérito, que lo único que hacía era fiarse de los datos y no de su instinto.

La victoria de Silver es una anécdota, sí. Pero como en el caso de la evaluación cuantitativa de los jugadores de baseball que describe el periodista Michael Lewis en Moneyball (y que es ahora una película de éxito), refleja la victoria de un mundo nuevo, en el que los que son capaces de entender, interpretar y analizar la información derrotan a los especuladores de salón que no saben leer los datos, pero que saben enrollarse como las persianas sobre todo lo que está bajo el sol. Un mundo en el que gana el argumento no el que más cobra, el más prestigioso, o el jefe, sino cualquiera (incluido el más bajo en la jerarquía o el más joven) que sea capaz de hacer el mejor argumento basado en la evidencia empírica.

La revolución que ya ha tenido lugar en la toma de decisiones en finanzas, en baseball, en marketing (con el análisis masivo de bases de datos de compra) y en la política presidencial americana llegará poco a poco a todas las áreas del conocimiento. Y para beneficiarse de ella, habrá que tener un buen conocimiento de estadística y de matemáticas. Y es que las matemáticas no son solo, como dijo Galileo, el lenguaje en el que Dios escribió el universo, sino que son el lenguaje de los datos y la información en la que estamos inundados. Sin entender modelos matemáticos sencillos, lo que estos pueden predecir y lo que no, los supuestos que requieren, la confianza que merecen, es prácticamente imposible participar activamente en campos aparentemente tan poco matemáticos como la biología, la economía, las finanzas, la contabilidad, la sociología, la ciencia climática, la ciencia política, la medicina (¿cuál es la probabilidad de curación en este caso con quimio, con radio o con cirugía?, ¿de qué depende esta probabilidad?), o el marketing.

Nuestros hijos vivirán en este mundo rico en datos, en el que los trabajos manuales bien pagados habrán desaparecido prácticamente, sustituidos por los robots, y en el que la habilidad principal necesaria para ganarse bien la vida será saber manejar datos, información, símbolos, e ideas. Las máquinas no se manipularán con las manos, sino con un teclado, y los maquinistas tendrán que saber programar. El valor añadido en los procesos productivos estará antes de la fabricación (I+D) y después de esta (servicios), no en la fabricación misma. Las decisiones no se tomarán a partir de intuiciones e instintos, sino a partir de una lectura correcta de la evidencia.

Es sorprendente en este sentido que los españoles acepten sin rechistar la estafa que supone la enseñanza secundaria y universitaria que se imparte en demasiados lugares en España, plagada de profesores que imaginan que enseñar consiste en sentarse en una silla a dictar apuntes (¿no conocerán quizás la moderna invención de la fotocopiadora, la impresora, y el correo electrónico?). El debate sobre enseñanza se centra siempre, en cada uno de los interminables procesos de “reforma” en si clase de religión sí o clase no; y si formación del espíritu nacional español, o mejor espíritu nacional catalán o cántabro. Y podemos estar seguros de que los padres protestarán contra cualquier incidente con la comida, que se echarán a la calle ante cualquier subida de tasas, o fallo en la limpieza de las clases.

Pero estamos por escuchar la primera protesta porque a los niños no se les exige suficiente, porque las clases son demasiado blandas, rutinarias, y memorísticas. Estamos por escuchar la primera protesta porque los chicos salen del colegio, con 16 o con 18 años, sin haber adquirido los tres fundamentos claves necesarios para salir adelante en la economía de conocimiento: un nivel avanzado de confianza en el uso de las matemáticas y la estadística; una capacidad elevada para escribir un argumento, no solo correcto gramaticalmente, sino razonado con claridad y convicción; y un nivel avanzado de inglés. No nos engañemos, sin haber adquirido estos tres fundamentos básicos para participar en la economía del conocimiento, es como si los niños no hubieran pisado la escuela desde los 14 años. Y conseguir esta prioridad requiere no solo que los padres se involucren mucho más y que los colegios exijan mucho más, sino también que el modelo educativo cambie, y que exijamos a los Gobiernos, del signo que sea, que sacrifiquen primero el gasto en cualquiera de los otros dos pilares del Estado de bienestar, sanidad y pensiones, si es estrictamente necesario, pero que mantengan por encima de todo la inversión en capital humano, en educación, absolutamente necesaria para asegurar el futuro del país.

Luis Garicano es catedrático de Economía y Estrategia de la 
London School of Economics.