Bayes y el avión desaparecido

Visto en BBC
Cómo pueden las matemáticas ayudar a hallar los restos del MH370

¿Podrían técnicas matemáticas inspiradas en un clérigo británico del siglo XVIII ayudar a hallar fragmentos del vuelo de Malaysia Airlines MH370?

Thomas Bayes
Thomas Bayes

Este lunes, el primer ministro malasio, Najib Razak, confirmó que el vuelo MH370 “acabó en el mar” y descartó que haya sobrevivientes.

Sin embargo, la búsqueda de los restos del aparato y de la caja negra, que daría las claves de las circunstancias que llevaron a la desaparición del avión, continúa.

Una tarea difícil en la que las matemáticas podrían tener un papel importante, como ya sucedió en el caso del vuelo 447 de Air France, desaparecido durante su trayecto desde Río de Janeiro a París en junio de 2009.

¿Cómo ayudaron las matemáticas en aquel misterio? Y, ¿cómo podrían contribuir a resolver este?

Segmentos del Airbus 330 de Air France fueron hallados flotando en el Atlántico cinco días después, pero no podía resolverse el misterio del accidente sin hallar la caja negra y las grabaciones en la cabina.

Podría pensarse que tras localizar algunas partes de la aeronave sería fácil hallar el resto del avión, pero los objetos pueden desplazarse grandes distancias con las corrientes marinas.

El servicio de guardacostas de Estados Unidos utiliza frecuentemente diferentes tipos de software para simular el movimiento de posibles restos luego del impacto inicial.

Pero estos programas no servían en el caso del vuelo de Air France debido a las corrientes impredecibles que caracterizan la franja ecuatorial, especialmente en la época del año en la que ocurrió el accidente.

Buques y submarinos de Estados Unidos, Brasil y Francia buscaron el avión sin resultados.

La autoridad de investigación de accidentes de Francia, BEA por sus siglas en francés, decidió entonces pedir ayuda a un grupo de expertos en estadística de Estados Unidos con una reconocida trayectoria en la localización de objetos perdidos en el mar.

Fue así como Colleen Keller voló a Francia para contribuir en la búsqueda.

“BEA ya tenía varias teorías sobre los posibles sitios de impacto”, dijo la analista.

Para transformar toda esa información en números y probabilidades, Keller y su equipo de la empresa Metron Inc en Viriginia se basaron en el llamado Teorema de Bayes, desarrollado por un estadístico y clérigo presbiteriano británico llamado Thomas Bayes, quien falleció en 1761. Continuar leyendo “Bayes y el avión desaparecido”

Mirando la vida con ojos matemáticos

De Mari Carmen Díez Navarro en INFORMACIÓN

niñoEste curso, y casi desde el principio, he podido observar que mis alumnos están muy interesados por los números y por contar. Son actividades que desde el primer día he promovido, por pedagogía y por costumbre, y a las que los niños están respondiendo con énfasis y afición.

Habitualmente contamos cuántos niños hay en cada mesa, cuántos hay «en total», si hay empates o no. También contamos los pisos de las torres de madera que construyen, las albóndigas del guisado, los que son de un equipo de fútbol o de otro, los que llevan gafas, los que tienen el pelo rizado o liso, las personas que hay en cada casa, los dientes que se les van cayendo?

La verdad es que lo contamos todo, porque con el tiempo y la formación he concluido que trabajar con los números en la escuela infantil pasa por invitar a los niños a mirar la vida con ojos matemáticos. Así los números se viven como un juego y se aprende a comparar, relacionar, ordenar, clasificar y contar como las actividades vitales, útiles y entretenidas que realmente son. Así los números se palpan, se sienten, se perciben como importantes, se cargan de afecto.

A los niños les interesa saber sus años y los de sus padres, su peso, su medida, su talla de camiseta y de zapatos, los días que faltan para ir de excursión o celebrar una fiesta? Les suele atraer medir, pesar, manipular, hacer colecciones, grupos, escaleras de tamaños, discriminar las formas o los colores, contar, conocer «los números largos», averiguar «si el cero tiene algo dentro», etc. El caso es contar con sentido, lo que viene a ser: entender, poner orden e ir dominando el mundo a su alcance.

En estos aconteceres matemáticos a mí me gusta ver a Nico presumiendo de que sabe sumar y demostrándolo al contar los dedos que él mismo se prepara en un reto constante, a Héctor que se ha dado cuenta de que es el único que lleva una camiseta de la talla 8, a Celia que recita «la tabla del 1» que se la ha enseñado su hermana, a Aitana que se pregunta cómo es que su bebé tiene «cero años» si el cero no es «nada» y hace ya muchos días que la nena vive en su casa…

El otro día escuché a varios niños enzarzados en una divertida conversación sobre las edades de sus padres:

-Mi mamá nació un año antes que mi papá.

-Pues mi padre es más mayor que mi madre.

-Mis padres empatan a 42.

-Mi papá tiene 58, es el que más años tiene de todos los de aquí.

-Mi mamá gana a todos también, es la que más pocos tiene: 31.

-Por eso está tan guapa.

-Oye, que mi padre también es guapo, aunque tenga 58.

Otro día Martina contó: «El domingo hice una ruta que tenía 1.000 escalones». Valoré su hazaña y escribí el número 1.000 en la pizarra, insistiendo en que era una buena deportista. Pero por lo visto mi entusiasmo despertó la rivalidad de uno de sus compañeros.

-El cero no es nada y el 1 es poco, así es que no será tanto el 1.000.

-Sí que es, que yo me cansé bastante, contestó Martina, dándose por aludida.

-Pues yo al 1.000 lo veo poquísimo, insistía él.

-Mi yayo me da 5 euros a veces y me compro muchas cosas, comentó una niña.

-A mí me encantan los números largos, porque me gusta tener mucho de todo.

-Bueno, pero el 1.000 no es tanto, repetía el inconforme.

Ante esta empecinada rebelión celosa, intuí que ningún argumento sería lo suficientemente bueno, así que opté por poner un ejemplo para que al menos a los demás niños les quedara un poco más claro el tema, y a él lo dejé que rumiara su rabieta. Ya se sabe que los sentimientos a veces nos hacen perder el norte.

De una manera o de otra la discusión ha sido útil. Por un lado, para que los niños vayan acercándose a estas matemáticas de a pie que manejamos en la escuela infantil y por otro para que salgan a relucir ciertos sentimientos que conviene aprender a reconocer, expresar y encarar adecuadamente para que no se transformen en agresiones o en silencios explosivos. Virtudes de las matemáticas aplicadas y de la libre expresión que gastamos por aquí.

Un sencillo acertijo

pulpo2El rey del mar tiene a su servicio pulpos de seis, siete y ocho tentáculos. Los pulpos de siete tentáculos sólo dicen mentiras, mientras que los de seis y ocho siempre dicen la verdad. Un día coincidieron en el ascensor cuatro de estos pulpos. El azul, en lugar de hablar del tiempo, dijo: “Entre nosotros cuatro sumamos 28 tentáculos”. El verde dijo: “Entre nosotros cuatro sumamos 27 tentáculos”. El amarillo comentó: “Entre nosotros cuatro sumamos 26 tentáculos”. Mientras que el rojo sentenció: “Entre nosotros cuatro sumamos 25 tentáculos”. Y los cuatro salieron del ascensor con la certeza de haber perdido el tiempo (al no hablar del tiempo), pues es evidente que todos sabían cuantos tentáculos había en el ascensor.

La pregunta es cuál de ellos dice la verdad, si es que hay alguno.

Nota: dada la sencillez del acertijo lo dejaremos abierto “sine die” sin dar la solución para que cualquiera que caiga por este blog por casualidad pueda pensarlo y resolverlo. Se ruega que se abstengan de hacer comentarios todos aquellos que no sean pulpos de siete tentáculos.

Este acertijo lo he visto en SudOuest.fr

The Caterpillar, el pabellón efímero

El patio entre las ETS de Ingeniería de Edificación y de Arquitectura de la Universidad de Sevilla alberga el montaje de un prototipo de pabellón expositivo que ha sido bautizado con el nombre de ‘The Caterpillar’.

Se trata de una construcción en madera contrachapada cuyo diseño está basado en la intersección de superficies cónicas y en sus aplicaciones mediante el uso de los sistemas de CAD-CAM.

El proyecto ha sido diseñado y dirigido por los profesores Roberto Narváez y Andrés Martín-Pastor  y constituye una apuesta por la innovación docente en el  marco de la asignatura  de primer curso de Geometría Descriptiva. Dicha instalación podrá visitarse durante los próximos meses en el patio existente entre las dos escuelas.

Para conocer más acerca de este proyecto, consulte este enlace.

Nosotros lo hemos visto aquí.

El teorema de Zeckendorf o “Magia y Fibonacci”

De lo que hablamos hoy aquí ya se habló en Divulgamat y ZTFNews.org,
y también en Gaussianos.

Edouard Zeckendorf fue un médico, oficial del ejercito y matemático belga que, en 1972, publicó el siguiente teorema:

Todo número entero positivo puede representarse de forma única como suma de números de Fibonacci (esto es, elementos de la sucesión de Fibonacci) distintos, de tal forma que dicha representación no contiene dos números de Fibonacci consecutivos.

Esta representación se denomina representación de Zeckendorf del número entero positivo en cuestión.

La demostración de la existencia se realiza por inducción. Dicho muy esquemáticamente, se supone el resultado cierto para cualquier entero positivo menor que uno dado \(N\), se escoge el mayor número de Fibonacci \(F_j\) menor o igual que \(N\) y se aplica la inducción al número \(N-F_j\).

Así, para obtener la representación de Zeckendorf de \(1954\), escogemos el mayor número de la sucesión que sea menor o igual que \(1954\), ya saben, \(1597\). La diferencia es \(1954-1597=357\). Ahora el número de Fibonacci más cercano a \(357\) es \(233\). Restando \(357-233=124\). Escogemos \(89\) como el siguiente número de Fibonacci en la representación de Zeckendorf, \(124-89=35\). Como \(34\) está en la sucesión de Fibonacci, la representación es:

\(1954=1597+233+89+34+1\).

(Por supuesto, para la representación de Zeckendorf no contamos el $atex 0$ y sólo tomamos uno de los dos términos iguales a \(1\))

La unicidad se basa en el siguiente lema:

La suma de cualquier conjunto no vacío de números de Fibonacci, no consecutivos, cuyo mayor elemento sea \(F_j\), es estrictamente menor que el siguiente término \(F_{j+1}\).

Una aplicación curiosa de esta representación es el paso de millas a kilómetros y viceversa. Dado que la razón aúrea es

\(\displaystyle\varphi\approx 1’6181033\ldots =\lim_{n\to\infty}\frac{F_n}{F_{n+1}}\),

muy parecida a la razón entre millas y kilómetros: \(1’6093\), para pasar (aproximadamente) \(N\) millas a kilómetros se puede sustituir cada término en la representación de Zckendorf de \(N\) por su siguiente en la sucesión de Fibonacci. Es decir

\(1954=1597+233+89+34+1\) millas

son aproximadamente

\(3162=2584+377+144+55+2\) kilómetros.

Otra aplicación del teorema es el siguiente juego, que consiste en adivinar cualquier número que el auditorio haya pensado entre \(1\) y \(100\). Para ello, una vez que se han puesto de acuerdo, a tus espaldas, en escoger un número, tú les vas presentando una por una estas 10 tarjetas con números “aleatorios”jeu-de-10-cartes-magiquesy ellos tienen que decir si su número se encuentra en ellas o no. Astútamente estas tarjetas las hemos fabricado de tal forma que comienzan por un número de Fibonacci, que está seguido por todos aquellos, mayores que él, que lo contienen en su representación de Zeckendorf.

Por ejemplo, si el número que han pensado es \(32\) escogerán las siguientes tarjetas cartes-avec-32y nosotros sólo tendremos que sumar los primeros números de cada tarjeta, cartes-avec-32-solutionpues la representación de Zeckendorf de \(32\) es \(32=21+8+3\).

El juego admite una variante que lo hace más divertido, puesto que sabemos que el número a adivinar no puede estar en dos tarjetas consecutivas. Una vez que nos señalen que el número está en una tarjeta sabemos, gracias al teorema de Zeckendorf, que no estará en la siguiente. Esto nos permite escoger entre el auditorio a algunas personas con “derecho a no decir la verdad”, a las que podremos preguntar justo después de que algún sincero haya señalado una tarjeta en la que aparece el número. Esto dará la apariencia de que nos ponen el juego más difícil al no saber si toda la información es cierta o no.

He escrito esta entrada gracias a Antonio Aranda y Ramón Piedra.