Autor: arojas

La Academia Noruega de Ciencias y Letras anunció el pasado día 20 de marzo la concesión del premio Abel al matemático belga Pierre Deligne. Deligne, nacido en Bruselas en 1944, obtuvo su doctorado en la Universidad Libre de Bruselas (1968) y en la Universidad de París-Sud (1972) bajo la supervisión de Alexandre Grothendieck, y ha sido miembro permanente del Institut des Hautes Études Scientifiques y, desde 1984, del Instituto de Estudios Avanzados (IAS) de Princeton, en el cual es actualmente profesor emérito.

El jurado del premio ha destacado sus “contribuciones fundamentales a la geometría algebraica y su impacto transformador en teoría de números, teoría de representaciones y áreas relacionadas”. El trabajo de Deligne abarca muchas áreas distintas de las matemáticas, y en todas ellas ha realizado importantes contribuciones. Pero sin duda, su resultado más importante es la demostración de la hipótesis de Riemann para variedades sobre cuerpos finitos, la última de las conjeturas de Weil que quedaba por probar (y la más difícil). Sus dos artículos “La conjecture de Weil” (I y II) están entre los más influyentes de las matemáticas del siglo XX. Por esta demostración se le concedió la medalla Fields en 1978, y el premio Crafoord (conjuntamente con Grothendieck) en 1988.

Las conjeturas de Weil predicen con gran precisión el comportamiento del número de soluciones de los sistemas de ecuaciones polinomiales en varias variables sobre cuerpos finitos. Recordemos que, para cada potencia de un número primo \(q=p^r\), existe un único cuerpo finito con \(q\) elementos. Las conjeturas predicen por ejemplo que, si denotamos por \(N(p,r)\) el número de soluciones del sistema en el cuerpo con \(p^r\) elementos, basta conocer los primeros términos de la sucesión \(N(p,1),\ N(p,2),\ \ldots\) para conocer la sucesión completa. La hipótesis de Riemann, en particular, da acotaciones muy precisas para los valores de \(N(p,r)\). Este resultado tiene implicaciones muy importantes en Geometría Algebraica y Teoría de Números. Como ejemplo, veamos las tres aplicaciones que el propio Deligne da en la primera parte de su artículo:

• Supongamos que \(f\) es un polinomio homogéneo de grado \(d\) en \(n+1\) variables con coeficientes en un cuerpo finito con \(q\) elementos. Como polinomio homogéneo, el conjunto de sus ceros define una hipersuperficie en el espacio proyectivo de dimensión \(n\). Si esta hipersuperficie no tiene singularidades, las conjeturas de Weil predicen que el número de soluciones (proyectivas) de la ecuación \(f=0\) es aproximadamente igual al número de puntos en el espacio de dimensión \(n-1\), y el término de error está acotado por \(C(d,n)\cdot q^{\frac{n-1}{2}}\), donde \(C(d,n)\) es una constante explícita. Esta constante está relacionada con la topología de la hipersuperficie compleja definida por el mismo \(f\) (visto como polinomio complejo). Esto da una sorprendente relación entre dos áreas aparentemente tan alejadas como los cuerpos finitos y la topología.
• Las formas modulares son un tipo de funciones holomorfas definidas en el semiplano complejo superior, que juegan un papel fundamental en la teoría de números moderna. La principal característica de las formas modulares es que tienen muchas propiedades de simetría, y en particular existe una expresión del tipo \(f(z)=\sum_{n=1}^\infty a_ne(z)^n\), donde \(e(z)=e^{2\pi iz}\) . El ejemplo más conocido es la función \(\Delta (z)=e(z)\prod_{n=1}^\infty (1-e(z)^n)^{24}=\sum_{n=1}^\infty \tau(n)e(z)^n\), donde \(\tau\) es la función tau de Ramanujan. El resultado de Deligne implica una cota sobre los términos de la sucesión \(\{a_n\}\) asociada a una forma modular cuspidal (es decir, que cumple cierta condición de decrecimiento).
• Si \(f\) es un polinomio de grado \(d\) en \(n\) variables sobre el cuerpo \({\mathbf Z}/p{\mathbf Z}\), la suma exponencial asociada a \(f\) se define como \(\sum_x \exp(2\pi i f(x)/p)\), donde la suma se toma sobre todas las n-uplas \(x=(x_1,\ldots,x_n)\) de elementos de \({\mathbf Z}/p{\mathbf Z}\). Esta suma da una medida aproximada de lo “bien distribuidos” que están los valores de la función \(f\). Deligne prueba que, si \(p\) no divide a \(d\) y \(f\) cumple cierta condición de regularidad (que se verifica para “casi todos” los polinomios), esta suma está acotada en valor absoluto por \((d-1)^n p^{n/2}\). Es decir, que los valores de \(f\) están bien distribuidos.

Aparte de su trabajo en las conjeturas de Weil, Deligne ha obtenido importantes resultados en otros temas, entre los que podemos destacar los espacios de moduli (usados para clasificar curvas algebraicas), teoría de Hodge, motivos, y la correspondencia de Riemann-Hilbert. Sin duda, un premio esperado y merecido.