A nosotros (también) nos gustan los triángulos…

6-10-21-640x263Hoy queremos compartir con vosotros la entrada titulada Me gustan los triángulos, escrita por Clara Grima para Naukas.

Primero hace un breve repaso a triángulos ciertamente famosos: el triángulo de Pascal, el de Floyd con los números triangulares, el de Sierpinski, el fractal de Fibonacci, el triángulo de las Bermudas o el triángulo amoroso, que como ella misma afirma es un grafo, no un triángulo.

Pero lo más interesante de esta entrada es la explicación que hace Clara del uso de los triángulos para aproximar valores a partir de otros conocidos: de la interpolación baricéntrica a la triangulación de Delaunay. No se pierdan esta entrada porque aprenderán mucho… como siempre.

Nota: A pesar de que la autora comienza su exposición lamentando la inexistencia de canciones sobre el triángulo, sus lectores aportan un par de ejemplos en los comentarios.

Un triángulo equilátero puede transformarse en un cuadrado… ¡vaya casa!

El problema de la mercería (Haberdasher’s puzzle) consiste en cortar un cuadrado en cuatro partes distintas que puedan reordenarse formando un triángulo equilátero. Este problema fue propuesto y resuelto por Henry Dudeney a principios del siglo XX. Además, colocando cuatro bisagras entre las superficies que forman la figura original, la transformación es bastante dinámica.

conceptBasándose en este problema, The D*Haus Company ha diseñado una casa que puede realizar esta transformación ofreciendo distintas configuraciones según la estación del año.

mimics-naturePueden ver aquí un vídeo demostrativo:

El proyecto GNU

Si tienen un ratillo les recomendamos la lectura de este artículo de Richard Stallman acerca del proyecto GNU. Mientras tanto, les copio la sección dedicada al código abierto.

«Open Source» («código abierto»)

gerwinski-gnu-headEnseñar a los nuevos usuarios el valor de la libertad comenzó a resultar más difícil a partir de 1998, cuando parte de la comunidad decidió abandonar la expresión «software libre» reemplazándola por «software de código abierto» («open source software» en inglés).

La intención de algunos de los que adoptaron la nueva expresión era evitar la confusión entre «free» y «gratis», un objetivo razonable. Otros, sin embargo, apuntaban a dejar de lado los principios que habían dado vida al movimiento del software libre y al Proyecto GNU, con el propósito de atraer a los ejecutivos y usuarios empresariales, quienes en su gran mayoría sostienen una ideología que antepone los beneficios económicos a la libertad, a la comunidad, a los principios. Por lo tanto, la retórica del «código abierto» se centra en la posibilidad de desarrollar software potente y de alta calidad, pero elude las ideas de libertad, comunidad y principios.

Las revistas sobre «Linux» son un claro ejemplo de esto. Están inundadas de publicidad sobre software privativo que funciona en GNU/Linux. La próxima vez que nos encontremos con productos como Motif o Qt, ¿advertirán estas revistas a los programadores aconsejándoles que los eviten, o publicarán anuncios para promoverlos?

Dejando aparte todos los demás factores, el apoyo empresarial es útil y puede contribuir a la comunidad de varias maneras. Pero si para obtenerlo optamos por mencionar aún menos el tema de la libertad y los principios, el resultado puede ser desastroso; se agudizaría el desequilibrio entre la difusión del software libre y la enseñanza de sus principios.

Las expresiones «software libre» y «código abierto» se refieren aproximadamente a la misma categoría de software, pero describen conceptos muy diferentes acerca del software y de los valores. El proyecto GNU continúa utilizando el término «software libre» para expresar la idea de que la libertad, y no solamente la tecnología, es importante.

Pueden leer el artículo completo aquí.

Mirando la vida con ojos matemáticos

De Mari Carmen Díez Navarro en INFORMACIÓN

niñoEste curso, y casi desde el principio, he podido observar que mis alumnos están muy interesados por los números y por contar. Son actividades que desde el primer día he promovido, por pedagogía y por costumbre, y a las que los niños están respondiendo con énfasis y afición.

Habitualmente contamos cuántos niños hay en cada mesa, cuántos hay «en total», si hay empates o no. También contamos los pisos de las torres de madera que construyen, las albóndigas del guisado, los que son de un equipo de fútbol o de otro, los que llevan gafas, los que tienen el pelo rizado o liso, las personas que hay en cada casa, los dientes que se les van cayendo?

La verdad es que lo contamos todo, porque con el tiempo y la formación he concluido que trabajar con los números en la escuela infantil pasa por invitar a los niños a mirar la vida con ojos matemáticos. Así los números se viven como un juego y se aprende a comparar, relacionar, ordenar, clasificar y contar como las actividades vitales, útiles y entretenidas que realmente son. Así los números se palpan, se sienten, se perciben como importantes, se cargan de afecto.

A los niños les interesa saber sus años y los de sus padres, su peso, su medida, su talla de camiseta y de zapatos, los días que faltan para ir de excursión o celebrar una fiesta? Les suele atraer medir, pesar, manipular, hacer colecciones, grupos, escaleras de tamaños, discriminar las formas o los colores, contar, conocer «los números largos», averiguar «si el cero tiene algo dentro», etc. El caso es contar con sentido, lo que viene a ser: entender, poner orden e ir dominando el mundo a su alcance.

En estos aconteceres matemáticos a mí me gusta ver a Nico presumiendo de que sabe sumar y demostrándolo al contar los dedos que él mismo se prepara en un reto constante, a Héctor que se ha dado cuenta de que es el único que lleva una camiseta de la talla 8, a Celia que recita «la tabla del 1» que se la ha enseñado su hermana, a Aitana que se pregunta cómo es que su bebé tiene «cero años» si el cero no es «nada» y hace ya muchos días que la nena vive en su casa…

El otro día escuché a varios niños enzarzados en una divertida conversación sobre las edades de sus padres:

-Mi mamá nació un año antes que mi papá.

-Pues mi padre es más mayor que mi madre.

-Mis padres empatan a 42.

-Mi papá tiene 58, es el que más años tiene de todos los de aquí.

-Mi mamá gana a todos también, es la que más pocos tiene: 31.

-Por eso está tan guapa.

-Oye, que mi padre también es guapo, aunque tenga 58.

Otro día Martina contó: «El domingo hice una ruta que tenía 1.000 escalones». Valoré su hazaña y escribí el número 1.000 en la pizarra, insistiendo en que era una buena deportista. Pero por lo visto mi entusiasmo despertó la rivalidad de uno de sus compañeros.

-El cero no es nada y el 1 es poco, así es que no será tanto el 1.000.

-Sí que es, que yo me cansé bastante, contestó Martina, dándose por aludida.

-Pues yo al 1.000 lo veo poquísimo, insistía él.

-Mi yayo me da 5 euros a veces y me compro muchas cosas, comentó una niña.

-A mí me encantan los números largos, porque me gusta tener mucho de todo.

-Bueno, pero el 1.000 no es tanto, repetía el inconforme.

Ante esta empecinada rebelión celosa, intuí que ningún argumento sería lo suficientemente bueno, así que opté por poner un ejemplo para que al menos a los demás niños les quedara un poco más claro el tema, y a él lo dejé que rumiara su rabieta. Ya se sabe que los sentimientos a veces nos hacen perder el norte.

De una manera o de otra la discusión ha sido útil. Por un lado, para que los niños vayan acercándose a estas matemáticas de a pie que manejamos en la escuela infantil y por otro para que salgan a relucir ciertos sentimientos que conviene aprender a reconocer, expresar y encarar adecuadamente para que no se transformen en agresiones o en silencios explosivos. Virtudes de las matemáticas aplicadas y de la libre expresión que gastamos por aquí.

Un sistema binario inventado en Polinesia siglos antes que Leibnitz

Javier Sampedro
El País

matematica-sistema-binarioEl genial matemático Gottfried Leibniz (1646-1716) no fue el primero en inventar el sistema binario que ahora utilizan nuestros ordenadores y teléfonos. Los nativos de Mangareva, una pequeña isla polinésica, se le adelantaron en varios siglos. Los mangareveños no tenían la menor intención de inventar la computación digital, pero se dieron cuenta de que el sistema decimal —como el nuestro— que habían heredado de sus ancestros resultaba demasiado engorroso para hacer los cálculos en el mercado, y le superpusieron un sistema binario que facilita mucho las operaciones aritméticas más comunes. También Leibniz arguyó que su sistema binario servía para simplificar las cuentas, aunque nadie le hizo mucho caso.

No se trata del primer sistema binario conocido de la era preLeibniz –los mismos hexagramas del I-Ching que inspiraron al gran matemático alemán constituyen un sistema binario y tienen casi 3.000 años—, pero Andrea Bender y Sieghard Beller, del departamento de ciencia psicosocial de la Universidad de Bergen, en Noruega, muestran ahora cómo los habitantes de Mangareva no solo inventaron el sistema para contar pescados, frutas, cocos, pulpos y otros bienes de diferente valor en sus transacciones comerciales, sino también cómo esto les condujo a una aritmética binaria que habría merecido la aprobación de Leibniz por su sencillez y naturalidad. Los autores creen que su trabajo revela que el cerebro humano está innatamente capacitado para las matemáticas avanzadas. Publican los resultados en PNAS.

Entender el hallazgo requiere un somero repaso del álgebra elemental. El sistema decimal al que estamos habituados, y que es el más común en todo tipo de culturas humanas por basarse en los diez dedos de las manos, lleva implícitas las potencias de diez en la posición de las cifras: en el número 3.725, se entiende que el 5 va multiplicado por 1 (10 elevado a 0); el 2 va multiplicado por 10 (10 elevado a 1); el 7 va multiplicado por 100 (10 elevado a 2); y el 3 va multiplicado por 1.000 (10 elevado a 3).

En un sistema binario solo hay dos símbolos (convencionalmente 0 y 1, pero también pueden ser dos estados de magnetización, como en los ordenadores), y las potencias implícitas por la posición no son las de 10, sino las de 2. Por ejemplo, en el número binario 111, se entiende que el último 1 va multiplicado por 1 (2 elevado a 0), el segundo por 2 (2 elevado a 1) y el primero por 4 (2 elevado a 2); equivale al siete del sistema decimal.

Bender y Beller no han descubierto nada parecido a un pergamino polinesio densamente cubierto de ceros y unos, ni mucho menos una cinta perforada. Lo que han hecho es analizar el lenguaje de Mangareva —uno de los cientos de idiomas de la familia austronesia habladas en las islas del Pacífico— en el contexto de su modo tradicional de vida y las características de sus bienes más preciados de consumo y sus transacciones comerciales, ofrendas, fiestas y demás. Esta forma de vida está en acelerado proceso de extinción, y con ella el sistema aritmético y la propia lengua de los mangareveños, de la que solo quedan ahora unos 600 hablantes en la isla.

Una evidencia del uso de las potencias de 2 —es decir, del sistema binario— en el comercio tradicional de Mangareva son los valores (o taugas) asociados a los bienes más valorados en la isla: tortugas (1 tauga), pescado (2), cocos (4) y pulpo (8). Otro producto valioso es el fruto del árbol del pan (Artocarpus altilis), llamado en inglés breadfruit (fruto del pan). Los frutos del pan de segunda fila valían lo que un coco (4), pero los mejores igualaban al pulpo (8). Recuerden que 1, 2, 4, 8, … son las potencias de 2.

Otro ángulo por el que asoman esas mismas potencias, aunque más indirecto —y combinado con el sistema decimal al que los mangareveños nunca renunciaron del todo— son las palabras (numerales) de uso más común en el rango de las decenas: takau (10), paua (20), tataua (40) y varu (80). Vuelven a aparecer las potencias de dos (1, 2, 4, 8), aunque esta vez multiplicadas por 10, para cubrir otro abanico de tamaños. Las demás decenas no son palabras nuevas, sino combinaciones gramaticales de las anteriores.

La ventaja de este sistema es que facilita mucho las opèraciones aritméticas fundamentales. Mientras que en el sistema decimal sumar de cabeza (sin contar) requiere memorizar más de 50 cancioncillas (como 4+7=11), en el sistema de Mangareva basta con saber que varu es el doble de tataua, que a su vez es el doble de paua, que a su vez es el doble de takau. Lo demás emerge de un modo muy natural y fácil de utilizar.

Con otras palabras, se trata esencialmente del mismo argumento que utilizó el gran Leibniz. Los demás seguimos contando con los dedos.