En los últimos días ha circulado bastante por las redes un vídeo del canal de Youtube Numberphile en el que el físico Tony Padilla da una “demostración” de que la suma de la serie \(1+2+3+4+5+\ldots\) es igual a \(-1/12\). Si no lo habéis visto aún, aquí lo tenéis:
En el vídeo, Padilla parte de la serie \(1-1+1-1+\ldots\), que es sumable en cierto sentido y tiene como suma \(1/2\) y, después de realizar algunas manipulaciones simples (sumas y restas, básicamente), llega al resultado anterior.
Pero ¿por qué quedarnos ahí? Vamos a seguir manipulando la suma de la misma forma que en el vídeo, a ver qué nuevas sorpresas obtenemos. Escribamos dos copias de la serie, la segunda de ellas desplazada un lugar:
\(1+2+3+4+5+\ldots=-1/12\)
\(1+2+3+4+\ldots=-1/12\)
Restando término a término, obtenemos \(1+1+1+1+\ldots=0\). Un poco extraño, sí, pero después de saber que \(1+2+3+4+5+\ldots=-1/12\), ya estamos curados de espanto. Repitamos ahora el proceso con esta nueva serie:
\(1+1+1+1+1+\ldots=0\)
\(1+1+1+1+\ldots=0\)
Ahora sí que la hemos liado: volviendo a restar, obtenemos que \(1+0+0+0+\ldots = 0\), es decir \(1=0\). Con lo cual, multiplicando por cualquier número \(x\), obtenemos que \(x=0\). Es decir: los números no existen, son todos el mismo. Nos acabamos de cargar todo el edificio de las matemáticas con un par de restas.
Moraleja: no todo lo que parece matemáticas es matemáticas. Al intentar demostrar algo, tenemos que ser extremadamente rigurosos y no dejarnos llevar por la intuición.
Pero entonces, ¿es cierta la fórmula o no? Pues, como pasa siempre en matemáticas, la pregunta no tiene sentido hasta que no definamos con precisión qué significa todo lo que aparezca en ella. En este caso, la respuesta depende de cómo se defina la suma \(1+2+3+4+5+\ldots\). Con la definición habitual de convergencia de series en el marco del Análisis Matemático, el resultado es obviamente falso, puesto que la serie es divergente. Sin embargo, existen muchas deficiones alternativas de suma de una serie y algunas de ellas (como la sumación de Ramanujan) dan el valor \(-1/12\) en este caso. La igualdad no tiene sentido si no especificamos qué método de sumación estamos usando. Decir que \(1+2+3+4+5+\ldots\) es igual a \(-1/12\) así, a secas, es incorrecto (por mucho que encaje en algunas fórmulas de la Física). Y lo que, desde luego, es incorrecto en cualquier caso es la “demostración” del vídeo.
Para leer más sobre el tema, recomiendo los excelentes posts del maestro Terence Tao en Google+ y en su blog.