Categoría: Demostraciones

La paradoja de parecerse para ser distinto

Leído en Página 12

FÓRMULA HIPSTER

hipster-glasses-explained-3La Matemática —a saber: “la ciencia de las conclusiones necesarias”, en ceñidas palabras del norteamericano Benjamin Peirce— ha vuelto a poner su elegancia y formalismo a disposición de causas importantes y, desde abstracciones y axiomas, desentrañó uno de los grandes interrogantes del nuevo milenio: ¿por qué todos los hipsters acaban pareciéndose los unos a los otros? Tamaña pregunta motivó al neurocientífico matemático Jonathan Touboul, del Collège de France, en París, a crear una ecuación que desentrañase el misterio de cómo los inconformistas por definición acaban conformándose con look, moda, intereses, etcétera, similares. ¿Paradoja aplicada? Así pareciera ser, de coincidir con las conclusiones del paper viralizado, sencillamente titulado “El efecto hipster”, que oscila entre la física estadística, la bifurcación de Hopf, entre otras cuestiones, para dar con una explicación plausible.

Acompañado por fórmulas complejas, cuenta Touboul en su explicación que, “detectado un desequilibrio azaroso, todos los individuos inconformistas tenderán a desalinearse de determinada tendencia, independientemente de que aumenten en proporción y que generen un claro sesgo contrario a aquella tendencia. Esto será detectado pasado un tiempo, dando lugar a un cambio recíproco, oscilación que volverán a repetir periódicamente. Ergo, más allá de sus esfuerzos, siempre acabarán por fracasar en su intento por salirse de la línea”. ¿Otro “hallazgo”? Que la capacidad y velocidad al momento de reconocer moda es directamente proporcional a la distancia con las personas que las siguen. “La fórmula tiene aplicaciones en otros fenómenos colectivos, incluido el mundo de las finanzas y de la economía”, explica el francés. “En otras palabras, encontrar un hipster verdadero es tan posible como montarse a un unicornio. Al menos, según la fórmula matemática”, resumen medios a lo largo y ancho. Y la suma da redonda.

Pueden obtener el preprint en arXiv.org

Permutaciones, desarreglos y algún pequeño arreglo

Entrada publicada en el blog de Álgebra Básica

Los ejercicios 19, 20 y 21 de la relación de Álgebra Básica hacen varias preguntas sobre contar permutaciones con ciertas propiedades: las que no tienen elementos fijos (esto es, \(\sigma(i)\neq i\) para todo \(i\)), las que tienen al menos un elemento fijo, etc. Aquí nos centraremos en los desarreglos. Una permutación \(\sigma\in S_n\) se llama un desarreglo si \(\sigma(i)\neq i\) para todo \(i=1,\dots,n\).

Contar las permutaciones sin elementos fijos, además de ser una muestra de inestabilidad mental, puede tener su importancia en la seguridad de criptosistemas basados en permutaciones. (Por cierto, ahora que caigo, Teoría de códigos y criptografía es una asignatura optativa de tercero de vuestro departamento favorito.)

Por si no me da tiempo a ver todo en clase (que no dará), os pongo aquí algunas curiosidades sobre el tema. Continuar leyendo “Permutaciones, desarreglos y algún pequeño arreglo”

¿Es cierto que 1+2+3+4+…=-1/12?

En los últimos días ha circulado bastante por las redes un vídeo del canal de Youtube Numberphile  en el que el físico Tony Padilla da una “demostración” de que la suma de la serie \(1+2+3+4+5+\ldots\) es igual a \(-1/12\). Si no lo habéis visto aún, aquí lo tenéis:

En el vídeo, Padilla parte de la serie \(1-1+1-1+\ldots\), que es sumable en cierto sentido y tiene como suma \(1/2\) y, después de realizar algunas manipulaciones simples (sumas y restas, básicamente), llega al resultado anterior.

Pero ¿por qué quedarnos ahí? Vamos a seguir manipulando la suma de la misma forma que en el vídeo, a ver qué nuevas sorpresas obtenemos. Escribamos dos copias de la serie, la segunda de ellas desplazada un lugar:

\(1+2+3+4+5+\ldots=-1/12\)

\(1+2+3+4+\ldots=-1/12\)

Restando término a término, obtenemos \(1+1+1+1+\ldots=0\). Un poco extraño, sí, pero después de saber que \(1+2+3+4+5+\ldots=-1/12\), ya estamos curados de espanto. Repitamos ahora el proceso con esta nueva serie:

\(1+1+1+1+1+\ldots=0\)

\(1+1+1+1+\ldots=0\)

Ahora sí que la hemos liado: volviendo a restar, obtenemos que \(1+0+0+0+\ldots = 0\), es decir \(1=0\). Con lo cual, multiplicando por cualquier número \(x\), obtenemos que \(x=0\). Es decir: los números no existen, son todos el mismo. Nos acabamos de cargar todo el edificio de las matemáticas con un par de restas.

Moraleja: no todo lo que parece matemáticas es matemáticas. Al intentar demostrar algo, tenemos que ser extremadamente rigurosos y no dejarnos llevar por la intuición.

Pero entonces, ¿es cierta la fórmula o no? Pues, como pasa siempre en matemáticas, la pregunta no tiene sentido hasta que no definamos con precisión qué significa todo lo que aparezca en ella. En este caso, la respuesta depende de cómo se defina la suma \(1+2+3+4+5+\ldots\). Con la definición habitual de convergencia de series en el marco del Análisis Matemático, el resultado es obviamente falso, puesto que la serie es divergente. Sin embargo, existen muchas deficiones alternativas de suma de una serie y algunas de ellas (como la sumación de Ramanujan) dan el valor \(-1/12\) en este caso. La igualdad no tiene sentido si no especificamos qué método de sumación estamos usando. Decir que \(1+2+3+4+5+\ldots\) es igual a \(-1/12\) así, a secas, es incorrecto (por mucho que encaje en algunas fórmulas de la Física). Y lo que, desde luego, es incorrecto en cualquier caso es la “demostración” del vídeo.

Para leer más sobre el tema, recomiendo los excelentes posts del maestro Terence Tao en Google+ y en su blog.

Un grupo infinito no cíclico cuyos subgrupos propios son cíclicos

Durante las últimas semanas hemos estado impartiendo algo de teoría de grupos en la asignatura Álgebra Básica. Uno de los resultados que se han demostrado en clase es el siguiente:

Teorema: Si \(G\) es un grupo cíclico entonces todos los subgrupos de \(G\) son cíclicos.

Es lógico preguntarse entonces si el recíproco no es cierto, es decir:

¿Es cíclico un grupo tal que todos sus subgrupos propios son cíclicos?

Para dar la respuesta, que es negativa, es suficiente poner un ejemplo. Es fácil encontrarlos entre los grupos finitos “conocidos”. En particular, el grupo diédrico \(D_3\) es un grupo no cíclico de orden 6 tal que todos sus subgrupos propios, de orden 2 y 3, son cíclicos. También podemos poner como ejemplo el de Klein, \(V_4\), o el de los cuaterniones, \(Q_8\).

Claro, a la vista de estos ejemplos uno podría preguntarse si la respuesta a la  pregunta anterior es afirmativa para grupos infinitos.

¿Es cíclico un grupo infinito tal que todos sus subgrupos propios son cíclicos?

Pero la respuesta es negativa y, de nuevo, basta dar un contraejemplo para confirmarlo.

Teorema: El subgrupo de \((\mathbb{Q}/\mathbb{Z},+)\), \(G=\{ a/2^k\mid a,k\in\mathbb{Z}, k\geq 0\}\subset \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\), es un grupo infinito no cíclico tal que todos sus subgrupos propios son cíclicos.

Nótese que podemos sustituir \(2\) por cualquier otro primo \(p\) fijo.

No es difícil comprobar que \(G\) no es cíclico, pues

\(1/2^n\notin\langle a/2^k\rangle\) para \(n>k\).

Dejamos para una entrada posterior (o no) la prueba de que todo subgrupo de \(G\) es cíclico.

Actualización (20/1/2013): Tal y como se había escrito el ejemplo inicialmente no funcionaba. En la entrada original se definió \(G=\{ a/2^k\mid a,k\in\mathbb{Z}, k\geq 0\}\) como un subgrupo de \((\mathbb{Q},+)\), en este caso el subgrupo \(H=\{ b/2^k\mid b\in\mathbb{Z}3, k\in\mathbb{Z}_{\geq 0}\}\subset G\) no es cíclico.

He visto esto en el blog de Dana C. Ernst