Categoría: Matemáticos

Un enunciado equivalente de la conjetura de Goldbach

Esta entrada está dedicada a nuestros alumnos de Álgebra Básica

150px-Greek_letter_phi_serif+sans.svgEn todas las áreas de la matemática hay problemas que se resisten a ser probados. Con frecuencia, las soluciones a estos problemas se obtienen mediante una brillante mezcla de resultados ya conocidos. Por este motivo es conveniente reformular problemas abiertos en enunciados equivalentes, de manera que se puedan dar nuevas perspectivas.

Por ejemplo, la irresuelta conjetura (fuerte) de Goldbach, que propone que todo número entero par mayor que \(2\) es suma de dos números primos, puede ser reformulada como una ecuación en la que aparece la función \(\phi\) o indicatriz de Euler.

Por definición, dos enteros \(m\) y \(n\) se dicen primos entre sí o coprimos si su máximo común divisor es igual a \(1\), \(\mbox{mcd} (m,n)=1\). Por ejemplo, \(4\) y \(7\) son primos entre sí.

La función \(\phi\) de Euler asigna a cada número entero positivo \(n\) la cantidad total de números enteros positivos menores que \(n\) que son primos con \(n\). Por ejemplo, los números \(1\), \(5\),\(7\) y \(11\) son todos primos con \(12\), mientras que \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(8\), \(9\) y \(10\) no. Luego \(\phi (12)=4\).

Si \(p\) es un número primo, todo número \(k\) menor que \(p\) es primo con \(p\), es decir,

\(\mbox{mcd}(p,k)=1\ \ \forall\ 0<k<p\).

Luego si \(p\) es primo entonces \(\phi (p)=p-1\).

Sabiendo esto, un enunciado equivalente de la conjetura de Goldbach es el siguiente: para todo número entero \(n\geq 1\) existen dos números primos \(p\) y \(q\) tales que

\(\phi (p) + \phi (q)=2n\).

Los matemáticos Paul Erdös y Leo Moser se preguntaron posteriormente si existen o no tales números \(p\) y \(q\) no necesariamente primo que verifican este enunciado.

De esta forma, el nuevo enunciado y las preguntas de Erdos y Moser llevan a un problema sobre la función \(\phi\) de Euler que, si no se demuestra por otra vía, será resuelto positivamente cuando se haya obtenido una prueba de la conjetura de Goldbach.

Este artículo es una traducción libre de la entrada The Strong
Goldbach Conjecture: An Equivalent Statement del blog
AMS Graduate Student Blog By and For Math Grad Students

Triángulos rectángulos racionales

rectangulo

Teorema: El área de un triángulo rectángulo de lados racionales no puede ser un número racional al cuadrado.

Sean \(a\) y \(b\), los catetos, y \(c\), la hipotenusa, de un triángulo rectángulo racional. Sabemos que el área del triángulo es \(ab/2\).  Si este área es un número racional, pongamos \(r\), al cuadrado, tenemos la ecuación

\(\displaystyle \frac{ab}{2}=r^2\).

Dividiendo todos los lados por \(r\) obtendríamos un triángulo rectángulo de lados racionales \(a’=a/r\), \(b’=b/r\) y \(c’=c/r\), cuya área es

\(\displaystyle \frac{a’b’}{2}=1\).

Luego es suficiente demostrar el

Lema: El área de un triángulo rectángulo de lados racionales no puede ser uno.

Sean entonces \(a\) y \(b\), los catetos, y \(c\), la hipotenusa, de un triángulo rectángulo racional de área

\(\displaystyle \frac{ab}{2}=1\).

Si partimos de la ecuación

\((a^2-b^2)^2=(a^2+b^2)^2-4a^2b^2\)

y sustituimos \(ab=2\) y, aplicando el teorema de Pitágoras, \(c^2=a^2+b^2\), obtenemos

\((a^2-b^2)^2=c^4-16.\)

Pero hay un teorema de Fermat (ver aquí el teorema 3.10 y el corolario 3.14) que dice que la diferencia de dos potencias cuartas no puede ser un cuadrado.

Así que el área de los triángulos rectángulos racionales no puede ser \(1\) ni, en consecuencia, un número racional al cuadrado.

Profundizando un poco en este resultado, Euler llamó congruentes a los números racionales que son el área de algún triángulo rectángulo racional. El problema de determinar si un número es congruente está abierto, aunque hay un algoritmo de Jerrold Tunnell basado en que la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer sea correcta.

Si alguien está interesado en una generalización a triángulos racionales (no necesariamente rectángulos) puede leer este artículo.

Esta entrada es una traducción libre de ésta que apareció en el 
blog The Endeavour de John D. Cook.

Matemáticas y la capa de invisibilidad

uhlman_impactRecientemente el matemático Gunther Uhlmann ha dado una conferencia en The Banff International Research Station sobre la capa de invisibilidad de Harry Potter. ¿A quién no le gustaría ser invisible al menos por un día?

Quien quiera saber algo sobre sus trabajos acerca de problemas inversos e invisibilidad puede visitar la página Harry Potter’s Cloak.

Además, como regalo a aquellos que prefieren el español al inglés, les dejo el vídeo de una conferencia impartida por el profesor Gunther Uhlmann en la Universidad de Chile.

El placer de las matemáticas


Fotorrelato de El País

Uno de los recuerdos menos agradables del colegio para una dilatada lista de adultos -y de niños actualmente- lo forman las matemáticas. “Aquello de los números” se convirtió en un martirio gracias a explicaciones complejas, símbolos ininteligibles y largas y tediosas demostraciones. Por eso, Steven Strogatz, autor de ‘El placer de la x’ (Taurus) y profesor de Matemáticas Aplicadas en la Universidad de Cornell (Estados Unidos), se ha aventurado a desmitificar la materia. “Quiero trasladar la idea de que las matemáticas pueden ser bonitas y que pueden ser una fuente de placer, felicidad y fascinación, no solo dolor”, comenta antes de echar a reír durante una conversación en Skype. Su nuevo trabajo, anuncia, no está pensado ni enfocado hacia los expertos en la materia, sino que está dirigido a aquellas personas a las que les aterran o que han tenido “malas experiencias” con las matemáticas. Su objetivo, en realidad, es ayudar a entender la materia y explicar qué tiene de entretenido esta rama científica. En su nuevo trabajo el estadounidense recorre numerosos aspectos de las matemáticas, desde los conceptos más básicos -como la suma y la resta- hasta, literalmente, el infinito. Para ello, el estadounidense parte en cada capítulo de la explicación más sencilla posible y, paso a paso, desarrolla una serie de razonamientos para alcanzar la complejidad. Y todo ello entrelazado con un sentido de humor a priori no imaginable.

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