Hace unos días, comenté en clase de pasada que existe un teorema de clasificación de grupos finitos, y dije (de cabeza) que el teorema tiene aproximadamente 15.000 páginas. No era un error, pero quizá sea interesante dar algunos detalles adicionales.
Subgrupos normales… y de los otros.
En primer lugar, hace falta definir lo que es un subgrupo normal. Dado un grupo \((G,\star)\), se dice que \(H\subset G\) es un subgrupo si para todo elemento \(g\in G\) se verifica que \(g\star H=H\star g\). Obviamente, si el grupo \(G\) es conmutativo, todos sus subgrupos son normales. Pero eso no es necesariamente cierto si \(G\) no es conmutativo.
Ejercicio: Demuestre que \(H=\{(),(12)\}\) es un subgrupo NO normal de \(S_3\). Demuestre que el grupo alternado \(A_3\) sí es un subgrupo normal de \(S_3\).
[Indicaciones: para la primera parte, calcule \((123)H\neq H(123)\). Para la segunda, observe que \(\sigma A_3\) sólo puede ser, bien\(A_3\), bien el conjunto de todas las permutaciones impares.]
Subgrupos simples… y de los otros.
Un grupo se llama simple si no tiene subgrupos normales. Si un grupo no es simple, se puede “romper” en dos grupos más pequeños; un subgrupo normal y el grupo cociente. A su vez, cada uno de estos grupos se pueden “romper” en grupos más pequeños y así sucesivamente. Si \(G\) es un grupo finito, es claro que en algún momento llegaremos a expresar \(G\) en función de grupos simples. El resultado preciso es más complicado de enunciar, se llama Teorema de Jordan-Hölder.
El resumen de todo esto es que para clasificar los grupos finitos, basta clasificar los grupos finitos simples. Para saber más, puede empezar por la wikipedia, o por un artículo de Richard Elwes sobre el tema.
El mega-Teorema.
Pues bien, existe un Teorema de Clasificación de grupos simples finitos, distribuido a lo largo de 15.000 páginas, que dice, esencialmente, que un grupo finito simple es isomorfo a uno de los siguientes tipos1:
- Grupos cíclicos de orden primo.
- Grupos alternados \(A_n\), con \(n\geq 5\).
- Grupos (de tipo Lie) de Chevalley
- Otros grupos (de tipo Lie): grupos de Chevalley torcidos (twisted) o grupo de Tits.
- Grupos esporádicos. Aquí aparecen 26 grupos “inclasificables”. Entre éstos, encontramos nombres tan curiosos como baby monster, monster, los grupos parias, etc.
El grupo monster se llama así no por la bebida energética, sino porque es el grupo simple finito más grande. Además, contiene 20 de los 26 grupos esporádicos como subcocientes. Los seis que no están contenidos son los “parias”. El grupo monster es finito, pero poco: tiene orden
\(808017424794512875886459904961710757005754368000000000.\)
¡Sí que da miedo el monster!
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Varias fuentes dan la clasificación de diversas formas. Por ejemplo, algunos autores consideran el grupo de Tits como esporádico, otros siguen criterios ligeramente distintos, etc. Aquí, por simplificar, los agrupo bastante groseramente. ↩
Muchas demostraciones en teoría de grupos finitos se basan en esta clasificación.
Quieres demostrar que una propiedad es cierta para todos los grupos finitos, y comienzas demostrándolo para los cíclicos, los alternados, los de Chevalley, … y así hasta llegar al Monster (o el Firendly Giant, como lo llama John Conway).
Luego demuestras que si tu propiedad es cierta para grupos simples finitos, entonces es cierta para extensiones de estos grupos, y has terminado.
Por supuesto, usar la clasificación implica confiar en que es cierta. Muchos matemáticos han dudado (algunos siguen dudando) de que no haya algún error u omisión en alguno de los cientos de artículos que la demuestran.
Por eso, cuando alguien enuncia un teorema sobre grupos finitos, no es raro escuchar la pregunta: ¿la demostración usa “la clasificación”?