Acabamos de poner en Material de la Asignatura una autoevaluación del tema 1. Se trata de un “simulacro” de examen para ayudaros a conocer si realmente habéis comprendido el tema de Teoría de Conjuntos. Os animamos a hacerlo, siguiendo las instrucciones de uso, y que compartáis con nosotros cualquier dificultad que hayáis detectado.
Archivo por meses: octubre 2014
Presentación del tema 2
En Material de la asignatura acabamos de subir la presentación del Tema 2: Permutaciones de un conjunto.
Apuntes y relación de problemas del tema 2
En Material de la asignatura acabamos de subir los apuntes y la relación de problemas del Tema 2: Permutaciones de un conjunto.
Ordenando monomios
Si nos dan el polinomio \(X^{12}-X+2X^3-4+3X^{10}-5X^2,\) lo normal es que antes de operar con él lo ordenemos así
\(X^{12}+3X^{10}+2X^3-5X^2-X-4,\)
o así
\(-4-X-5X^2+2X^3+3X^{10}+X^{12}.\)
De tal forma que usamos el orden natural en los enteros mayores o iguales que cero para ordenar los monomios en sentido descendente o ascendente.
Si ahora nos dan un polinomio en dos variables \(X, Y\) establecer un orden entre sus monomios debe ser equivalente a ordenar los pares de números enteros positivos. Por ejemplo, sea el polinomio
\(f(X,Y)=X^3Y^2-2X^4+3XY^4-Y^6+X^5+XY-2Y^2+Y^5-1.\)
¿Cómo ordenarías los monomios de \(f(X,Y)\)? ¿Puedes establecer una relación de orden en el conjunto de los pares de enteros mayores o iguales que cero que concuerde con el orden que has elegido para \(f(X,Y)\)?
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No todo es un conjunto
Hemos empezado Álgebra Básica por el principio: Teoría de conjuntos. La cosa es que hemos empezado con un truquillo. Más o menos, hemos definido un conjunto así:
Definición: un conjunto es una colección de objetos distintos entre sí que comparten una propiedad. Para que un conjunto esté bien definido, debe ser posible discernir si un objeto arbitrario está o no en él.
Pues bien, esto no es la definición formal de conjunto. De hecho, la definición formal lleva bastante trabajo; para darla con todos los detalles, habría que estudiar la teoría de conjuntos axiomática de Zermelo-Fraenkel (ZFC), incluyendo el axioma de elección. Esto sólo para empezar.
Nosotros usaremos conjuntos, y sólo conjuntos, desde el primer día, pero me gustaría lanzaros la siguiente pregunta: ¿hay cosas que no sean conjuntos? La respuesta es un poco elaborada; y hay que hablar de la Paradoja de Russell.
El año pasado le pedí a uno de mis víctimas ex-alumnos que escribiera la paradoja de Russell, precisamente para los alumnos de Álgebra Básica. Así que quien tenga curiosidad (que espero seáis todos), puede leerlo con calma en su blog. Después de eso, puede leer el artículo del mismo tema de gaussianos. Y después de eso podéis ir a la biblioteca y buscar un libro sobre teoría de conjuntos.
Aviso: Cuidado con la teoría de conjuntos. Puede quitaros el sueño.
Bienvenidos otra vez
Por fin vuelve a estar en funcionamiento el blog de la asignatura de Álgebra Básica. En la página Material de la Asignatura se irán añadiendo enlaces a las notas de teoría, relaciones de problemas y otro material. Ahora mismo tienen enlazado todo el material del tema 1 de teoría de conjuntos.