Si nos dan el polinomio \(X^{12}-X+2X^3-4+3X^{10}-5X^2,\) lo normal es que antes de operar con él lo ordenemos así
\(X^{12}+3X^{10}+2X^3-5X^2-X-4,\)
o así
\(-4-X-5X^2+2X^3+3X^{10}+X^{12}.\)
De tal forma que usamos el orden natural en los enteros mayores o iguales que cero para ordenar los monomios en sentido descendente o ascendente.
Si ahora nos dan un polinomio en dos variables \(X, Y\) establecer un orden entre sus monomios debe ser equivalente a ordenar los pares de números enteros positivos. Por ejemplo, sea el polinomio
\(f(X,Y)=X^3Y^2-2X^4+3XY^4-Y^6+X^5+XY-2Y^2+Y^5-1.\)
¿Cómo ordenarías los monomios de \(f(X,Y)\)? ¿Puedes establecer una relación de orden en el conjunto de los pares de enteros mayores o iguales que cero que concuerde con el orden que has elegido para \(f(X,Y)\)?
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Hombre, si los queremos ordenar (o al menos yo los quiero ordenar) de tal manera que el máximo exponente del primer monomio sea menor que el máximo exponente del segundo, y así sucesivamente, yo creo que lo siguiente sirve:
(an ,bn)R(an-1,bn-1) sii max{an,bn} ≥ max{an-1,bn-1} ; donde a sería el exponente de la x, b el exponente de la y, y n sería el último monomio del polinomio, numerados estos desde 1 hasta n.
(Al menos lo he intentado.)
Hola Pablo, entiendo lo que quieres decir pero hay un problema cuando los máximos exponentes son iguales, ¿cómo los ordenamos entonces? Es decir, los monomios X^5Y^2 y X^2Y^5 ¿cómo se ordenan?
De hecho la relación que defines no es de orden porque no verifica la propiedad antisimétrica. Es decir (5,2)R(2,5) y (2,5)R(5,2) pero (5,2) no es igual a (2,5).
Profesor, se que la relación no es de orden, pero el fallo de cuando es igual creo que no se da porque puse el signo ≥
Podríamos ordenar f(X,Y) de la siguiente manera:
f(X,Y) = X^5 -2X^4 + X^3 * Y^2 + 3X*Y^4 +XY -Y^6 +Y^5-2Y^2-1
Definamos pues la relación de orden que da lugar a esta manera de ordenarlos y demostremos que en efecto es relación de orden.
(R en cierto modo equivale a (>=))
En R^2 : (x^n,y^m)R(x^n’,y^m’) si:
{n>n’
{ó
{m>=m’ si n=n’.
Es decir, un par estará relacionado con otro (y será mayor que éste) si n>n’. Y en el caso de que n sea igual que n’, el primer par estará relacionado con el segundo si m es mayor o igual que m’.
Demostremos que es una relación de orden:
-Propiedad reflexiva:
(x^n,y^n)R(x^n,y^m): Sí, porque n=n’ y m>=m’
Cumple la propiedad reflexiva
-Propiedad anti-simétrica:
(x^n,y^m)R(x^n’,y^m’) implica que o bien n>n’ (1), o bien n=n’ y m>=m’ (2).
(x^n’,y^m’)R(x^n,y^m) implica que o bien n’>n, lo que contradice (1) y (2), o bien n’=n (que entra en contradicción con (1)) y m’>=m.
Se deduce por tanto que la única manera de que estén relacionados ambos pares es que n=n’, que m>=m’ y que m’>=m , es decir, que n=n’ y m=m’. Lo que prueba la propiedad anti-simétrica.
-Propiedad transitiva
Sean (x^n,y^m)R(x^n’,y^m’) (1) y (x^n’,y^m’)R(x^n”,y^m”) (2).
Se tienen por (1) dos posibilidades:
– Que n>n’, en cuyo caso por (2) se tiene que o bien n’=n” y por tanto que n>n”, o bien n’>n” y por tanto que n>n”. De lo que se obtiene que (x^n,y^m)R(x^n”,y^m”).
-Que n=n’, y por tanto m>=m’. Por (2) se tiene que o bien n’>n”, en cuyo caso n=n’>n”, o bien n’=n” y m’>=m”. De esto último obtenemos que m>=m’>=m” y que m>=m”.
En definitiva tenemos que (x^n,y^m)R(x^n”,y^m”) y por tanto se cumple la propiedad transitiva.
Q.E.D
Habiendo quedado demostradas las tres propiedades, obtenemos que nos hallamos ante una relación de orden y efectivamente si seguimos esta relación podemos ordenar f(X,Y) como previamente.
Bien Rafa, la definición del orden y la demostración son correctas. Este orden se llama lexicográfico, por su analogía con el orden alfabético en las palabras. Pero hay muchas más formas de ordenar los monomios que invitamos a pensar.