Teorema: El área de un triángulo rectángulo de lados racionales no puede ser un número racional al cuadrado.
Sean \(a\) y \(b\), los catetos, y \(c\), la hipotenusa, de un triángulo rectángulo racional. Sabemos que el área del triángulo es \(ab/2\). Si este área es un número racional, pongamos \(r\), al cuadrado, tenemos la ecuación
\(\displaystyle \frac{ab}{2}=r^2\).
Dividiendo todos los lados por \(r\) obtendríamos un triángulo rectángulo de lados racionales \(a’=a/r\), \(b’=b/r\) y \(c’=c/r\), cuya área es
\(\displaystyle \frac{a’b’}{2}=1\).
Luego es suficiente demostrar el
Lema: El área de un triángulo rectángulo de lados racionales no puede ser uno.
Sean entonces \(a\) y \(b\), los catetos, y \(c\), la hipotenusa, de un triángulo rectángulo racional de área
\(\displaystyle \frac{ab}{2}=1\).
Si partimos de la ecuación
\((a^2-b^2)^2=(a^2+b^2)^2-4a^2b^2\)
y sustituimos \(ab=2\) y, aplicando el teorema de Pitágoras, \(c^2=a^2+b^2\), obtenemos
\((a^2-b^2)^2=c^4-16.\)
Pero hay un teorema de Fermat (ver aquí el teorema 3.10 y el corolario 3.14) que dice que la diferencia de dos potencias cuartas no puede ser un cuadrado.
Así que el área de los triángulos rectángulos racionales no puede ser \(1\) ni, en consecuencia, un número racional al cuadrado.
Profundizando un poco en este resultado, Euler llamó congruentes a los números racionales que son el área de algún triángulo rectángulo racional. El problema de determinar si un número es congruente está abierto, aunque hay un algoritmo de Jerrold Tunnell basado en que la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer sea correcta.
Si alguien está interesado en una generalización a triángulos racionales (no necesariamente rectángulos) puede leer este artículo.
Esta entrada es una traducción libre de ésta que apareció en el blog The Endeavour de John D. Cook.
